Donner l’´enonc´e du th´eor`eme que vous utilisez ici (y compris les hypoth`eses

Universit´e Pierre et Marie Curie LM256 : Analyse vectorielle, int´egrales multiples Ann´ee universitaire 2009–2010 1er semestre, 1`ere session

Examen du 12 janvier 2010

2 heures, aucun document autoris´e, pas de calculatrice

Les 4 exercices (attention, recto-verso !) sont ind´ependants. On peut faire les parties d’un exercice dans l’ordre (a), (b), (c),..., mais parfois ce n’est pas n´ecessaire.

Exercice 1 Soit G(x, y, z) =p

x²+ 4y²+ 9z².

(a) Calculer −→v =gradG. Quel est l’ensemble de d´efinition de −→v =−→v (x, y, z) ?

(b) Soit P = (2,1,¹₃) et soit S la surface de niveau qui contient P. Trouver l’´equation du plan tangent `a S en P. Donner l’´enonc´e du th´eor`eme que vous utilisez ici (y compris les hypoth`eses !).

(c) Calculer g = div−→v ou −→w =rot−→v (au choix). Trouver, en particulier, g(P) (ou −→w(P), selon le cas).

Exercice 2 Soit Γ une courbe param´etr´ee donn´ee par

x= cost, y= sint, z = 2t, 0≤t≤2π

et soit −→u = (y, x−y², z). L’objectif de cet exercice est de calculer la circulation de −→u le long Γ, c.`a.d., c=R

Γy dx+ (x−y²)dy+z dz

(a) En utilisant la param´etrisation de Γ, exprimerccomme une int´egrale du typeR2π

0 f(t)dt.

(A cette ´etape, on ne demande pas de d´eterminer la valeur de cette int´egrale.)

(b) Existe-t-il une fonction h=h(x, y, z) sur R³ telle que−→u =gradh? Si oui, trouver une telle h.

(c) D´eterminer c par une m´ethode de votre choix.

Exercice 3 (a) Donner l’´enonc´e du th´eor`eme de Fubini pour un domaine D⊂R². (b) Consid´erons l’int´egrale double

I = Z Z

D

1

p25−x²−y² dx dy

o`uD={(x, y) : |y| ≤x, x²+y² ≤9}. ExprimerI de 3 fa¸cons comme une int´egrale it´er´ee, avec des expressions explicites pour les bornes d’int´egration :

1. comme R R

f dx dy 2. comme R R

f dy dx

3. en utilisant les coordonn´ees polaires

(c) Trouver I en utilisant une des m´ethodes ci-dessus (au choix).

Exercice 4 SoitT un domaine deR³limit´e (par en dessous) par le paraboloidez = 2x²+y² et (par au dessus) par la surface z = 2−y².

(a) L’intersection C de ces deux surfaces est une courbe. Trouver une param´etrisation de cette courbe.

(b) Trouver le volume de T.

(c) Soit S le bord de T orient´e vers l’ext´erieur et soit −→

V le champ de vecteurs donn´e par

−

→V = (yx,2x−2y,−yz). Calculer le flux de −→

V `a travers la surfaceS.

(d) Soit −→

W le champ de vecteurs donn´e par−→

W = (x²+y²−1, z−2x²−y², y²+z−2). Soit S₁ la partie inf´erieure de S (c.`a.d., la partie du paraboloide z = 2x²+y² born´ee par C), toujours orient´e vers l’ext´erieur de T. Calculer le flux de rot−→

W `a travers la surfaceS<sub>1</sub>. Attention : Un calcul direct en (c) et en (d) peut prendre du temps. Il faut utiliser les th´eor`emes qui sont pertinents.