UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2009-2010.
LM 371. 22 janvier 2010. Dur´ee: 2h
CORRIG´E
Exercice 1.
On consid`ere l’action du groupe S4 sur lui-mˆeme par conjugaison.
1) D´ecrivez les orbites de S4 pour cette action et donnez le cardinal de chaque orbite.
Toute permutation est produit de cycles disjoints (uniquement, `a l’ordre pr`es). Siσ ∈Sn est produit de r cycles disjoints de longueurs respectives ki (i= 1, ..., r), on sait que les conjugu´es deσ sont tous les produits der cycles disjoints de longueurs respectives ki (i= 1, ..., r).
Pourn = 4, un produit de cycles disjoints peut ˆetre a) l’´el´ement neutre, produit de 0 cycles,
b) une transposition (un 2-cycle) (il y en a 6), c) un 3-cycle (il y en a 8),
d) un 4-cycle (il y en a 6) ,
e) un produit de 2 transpositions disjointes (il y en a 3).
Il y a donc 5 orbites. Les cardinaux sont indiqu´es.
2) En utilisant la question 1), d´ecrivez les sous-groupes distingu´es de S4 et donnez le cardinal de chacun d’entre eux.
Un sous-groupe est distingu´e si et seulement s’il contient l’orbite de chacun de ses ´el´ements, donc si et seulement si c’est une r´eunion d’orbites.
a){e} est une orbite et un sous-groupe distingu´e.
b) (1,2)(3,4)(1,3)(2,4) = (1,4)(2,3) montre que la r´eunion de l’orbite a) et de l’orbite e) est un sous-groupe, n´ecessairement distingu´e, `a 4 ´el´ements.
c) La relation (1,2,3)(1,4,3) = (1,4)(3,2) montre que si un sous groupe distingu´e contient l’orbite c), il contient les orbites a), c) et e). La r´eunion de ces trois orbites est le sous-groupe distingu´e A4.
Toute permutation est produit de transposition, donc un sous-groupe qui contient l’orbite b) estS4 tout entier.
Enfin (1,2,3,4)(1,3,2,4) = (1,4,2) montre qu’un sous-groupe distingu´e H qui contient l’orbite d) contient aussi l’orbite c) donc A4. Comme H contient alors strictement A4 (car un 4-cycle est de signature−1) qui est d’indice 2 dans S4, on aH =S4.
Exercice 2.
Soit (G, ., e) un groupe commutatif. Sin est un entier positif et g ∈G, on note fn(g) =gn. 1) Montrez que l’application fn :G→ G est un endomorphisme de G (un morphisme de G dans lui-mˆeme).
1
2
Comme le groupe est commuttif, on a fn(gh) = (gh)n =gnhn =fn(g)fn(h), donc fn est un homomorphisme.
On suppose dans la suite queG est fini de cardinall.
2) Montrez quel etn sont premiers entre eux si et seulement sifnest un automorphisme de G(isomorphisme de G avec lui-mˆeme).
Soit g ∈Kerfn. On agn =e et gl =e.
Si n et l sont premiers entre eux, on en d´eduit g = e et l’endomorphisme est injectif. Son image dansGa donc mˆeme cardinal queG, ce qui d´emontre que l’endomorphisme est surjectif.
Sin et l ne sont pas premiers entre eux, consid´erons un facteur premier commun p. On sait queGa unp-sous-groupe non trivial, donc des ´el´ements d’ordrep. Maisgp =eimpliquegn =e etg ∈kerfn. Donc fn n’est pas injective.
3) Montrez que si n divisel et si n et l/n sont premiers entre eux, alors - (kerfn)∩(fn(G)) ={e} et
Soit g ∈ fn(G). Il existe h ∈ G tel que g = hn. On en d´eduit gl/n = hl = e. Si g ∈ kerf, on a gn = e. Comme n et l/n sont premiers entre eux, il en r´esulte g = e, ce qui montre (kerfn)∩(fn(G)) = {e}
-G est le produit direct de ses sous-groupes kerfn et fn(G)
On afn(G)'G/(kerfn). Donc (Lagrange)cardG=card(kerfn)×card(fn(G)) Consid´erons l’homomorphisme
kerfn×fn(G) → G d´efini par (g, h) → gh (c’est bien un homomorphisme car le goupe est commutatif). Comme (kerfn)∩(fn(G)) ={e}, il est injectif. Il est donc surjectif car les deux groupes ont mˆeme cardinal.
4) On suppose que le cardinal de G est 196. Montrez que f14(G) est de cardinal 14 si et seulement si G est cyclique (cette question est ind´ependante des pr´ec´edentes).
Comme 196 = 22.72 = 142. Il y a 4 groupes commutatifs de cardinal 196 (`a isomorphisme pr`es).
SiZ/196Z'< g > est un groupe cyclique, alorsf14(< g >) =< g14>est un groupe cyclique de cardinal 14.
Dans les autres cas, Gcontient soit uns sous-groupe isomorphe `aZ/2Z×Z/2Z×Z/7Z, soit un sous-groupe isomorphe `a Z/2Z×Z/7Z×Z/7Z. Ces groupes sont de cardinaux, 28 pour le premier et 98 pour le second et leurs ´el´ements ont tous un ordre qui divise 14. Autrement dit card(ker(f14)>14 et (par Lagrange)card(G/kerf14)<14. Commef14(G)'(G/(kerf14), on conclut.
Exercice 3.
1) Montrez qu’un groupe de cardinal 15 est cyclique.
On a 15 = 3×5
Par le th´eor`eme de Sylow, un 3-sous-groupe de Sylow H et un 5-sous-groupe de Sylow K sont distingu´es. Comme H ∩K = {e}, on a G ' H ×K. Comme 3 et 5 sont premiers, les sous-groupesH etK sont cycliques. On conclut par le ”th´eor`eme chinois” (3 et 5 sont premiers entre eux)
3
2) Montrez qu’un groupe de cardinal 30 n’est pas simple. On pourra compter les ´el´ements d’ordre 3 et 5.
On a 30 = 2×3×5. SoitH (resp. K) un 3-sous-groupe de Sylow (resp. un 5-sous-groupe de Sylow) deG.
Si H n’est pas distingu´e, il a 10 conjugu´es d’apr`es le th´eor`eme de Sylow. Deux tels sous- groupes s’intersectent suivant {e}. Cela donne 20 ´el´ement d’ordre 3.
Si K n’est pas distingu´e, il a 6 conjugu´es d’apr`es le th´eor`eme de Sylow. Deux tels sous- groupes s’intersectent suivant {e}. Cela donne 24 ´el´ement d’ordre 5.
Comme 44 >30, l’une de ces hypoth`eses au moins n’est pas v´erifi´ee et le groupe n’est pas simple.
3) Montrez qu’un groupe de cardinal 36 n’est pas simple (vous pouvez par exemple faire agir le groupe sur l’ensemble de ses 3-sous-groupes de Sylow).
On a 36 = 22×32.
Si le groupe est simple, le nombre de 3-sous-groupes de Sylow est 4. Clairement, G op`ere sur l’ensemble des 3-sous-groupes de Sylow par conjugaison. Autrement dit, il y a un homo- morphisme de G dans le groupe des bijections de cette ensemble `a 4 ´el´ements, c ’est `a dire un homomorphisme de G dans S4. Comme S4 est de cardinal 24, cet homomorphisme n’est pas injectif (36 > 24 !). Il a donc un noyau 6= {e}, qui est un sous-groupe distingu´e. Le groupe n’est pas simple.
