• Aucun résultat trouvé

On consid` ere la courbe Γ param´ etr´ ee sur I =] − 1, 1[ par x(t) = t

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2021

Partager "On consid` ere la courbe Γ param´ etr´ ee sur I =] − 1, 1[ par x(t) = t"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

UJF DM ` a rendre la semaine du 6 au 10 octobre mat237 Exercice 1 (tir´ e du CC1 2012)

On consid` ere la courbe Γ param´ etr´ ee sur I =] − 1, 1[ par x(t) = t

2

1 − t , y(t) = t

4

1 − t

2

·

1. V´ erifier que la courbe Γ poss` ede un seul point singulier S. Pr´ eciser la tangente en S puis la nature de S [on pourra utiliser un d´ eveloppement limit´ e en ce point].

2. Montrer que Γ admet deux droites asymptotes que l’on d´ eterminera.

3. Etudier la convexit´ e de Γ

4. Dresser un tableau de variation de x(t) et y(t) sur ] − 1, 1[.

5. Tracer la courbe Γ.

Exercice 2 : Miroir elliptique Soit E l’ellipse de foyers F (1, 0) et F

0

(−1, 0) et passant par le point A(2, 0).

1. D´ eterminer l’excentricit´ e e de l’ellipse et son demi-grand axe a. Donner l’´ equation cart´ esienne de E puis une repr´ esentation param´ etrique M(t) d’un point de E. Faire le trac´ e de E.

2. D´ eterminer la tangente T ` a l’ellipse au point M (t). Donner un vecteur unitaire − →

T vecteur directeur de T .

3. Donner un vecteur unitaire − →

N orthogonal ` a − →

T . D´ eterminer les coordonn´ ees de −−−−→

F M(t) dans la base orthonorm´ ee { − →

T , − →

N } (on pourra utiliser le produit scalaire de −−−−→

F M (t) avec − → T et − →

N ).

4. On place une source lumineuse en F qui ´ emet dans toutes les directions et on suppose que l’int´ erieur de l’ellipse E est un miroir. D´ eterminer le rayon r´ efl´ echi du rayon −−−−→

F M(t) (sym´ etrique du rayon −−−−→

F M (t) par rapport ` a la tangente T en M (t) ` a l’ellipse).

5. Montrer que le rayon r´ efl´ echi passe par un point ind´ ependant de t que l’on d´ eterminera.

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 76.37 KB )

Documents relatifs

1 Notion de courbe param´ etr´ ee

En prenant en compte les signes et variations de x et y, en partant des param`etres t n´egatifs pour aller vers les positifs, sans utiliser Maple, conjecturer l’allure du support de

´Etude de l’arc param´etr´e x = t

Le deuxi`eme point d’intersection de cette tangente avec la courbe a pour param`etre −1.. Le trac´e de la courbe a ´et´e r´ealis´e avec le

On consid`ere sur R le champ de vecteurs f : R → R d´efini par f(x

Montrer (sans passer par une r´ esolution explicite) que si un champ de vec- teurs lin´ eaire de dimension 2 a une orbite p´ eriodique de p´ eriode T 0 , alors toutes ses orbites

Justifier toutes vos r´eponses Exercice 1.On consid`ere la matrice A

Veuillez num´ eroter et indiquer votre num´ ero d’´ etudiant sur toutes les feuilles rendues. Justifier toutes vos

On dit qu’une courbe param´etr´ee γ :I → Rn est r´eguli`ere si pour tout t ∈I, γ0(t) 6= 0

Dor´ enavant, on suppose que les courbes param´ etr´ ees sont de classe C ∞ et que les changements de param` etre sont des diff´ eomorphismes de classe C ∞.. Toute courbe r´

On dit alors queα est une courbe param´etr´eed´eveloppante de γ

Montrer que S est une surface r´ eguli` ere en montrant que (U, φ) est une carte (globale) de

1) Soient C est une courbe de Bertrand param´etr´ee par l’abscisse curviligne γ :I →R3 etC une compagne de Jordan de C

On note C le cercle de centre O et de rayon a du plan horizontal Oxy. Donner un atlas de cartes de T constitu´ ees de restrictions de ϕ... 5) Calculer les coefficients (g i,j ) de

Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert et γ :I →R2une courbe r´eguli`ere de classeC∞param´etr´ee par l’abscisse curviligne

Montrer que S est orientable. En d´ eduire le calcul de la courbure de Gauss de la surface S construite ` a partir de cette courbe par le proc´ ed´ e d´ ecrit