Universit´e Antilles–Guyane DEUG MIAS 1e ann´ee UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP 2 D´ept Scientifique Interfacultaire 2e semestre 2003–2004
Math´ematiques 2 / Analyse — T.D. s´erie no 4 : Courbes param´etr´ees.
Exercice 1. Etudier les points stationnaires de la courbe param´etr´ee
C :
( x(t) = t e−1/t y(t) = (t+ 1)e1/t
Exercice 2. Etudier les points stationnaires de la courbe d´efinie par les ´equations :
C :
( x(t) = 15t5−16 t6 y(t) = 15t5−38 t4+16 t3
Exercice 3. Etudier au voisinage du point (x(0), y(0)), la courbe param´etr´ee
x(t) = t2 1 +t y(t) =
√1 +t2 1 +t
Exercice 4. Faire une ´etude locale au voisinage du point stationnaire pour :
x(t) = Z t
1
u2 −1 u2+ 1du y(t) =
Z t 1
u2 −1 u3+ 1du Exercice 5. Soit (C) la courbe param´etr´ee
x(t) =−2t+e2t
y(t) = 2 +t2− 12t4 ∀t∈R .
(a) Montrer que (C) admet un point stationnaire, puis d´eterminer sa nature.
(b) Etudier les branches infinies (arc infinis) de (C).
(c) Etablir le tableau de variations des applications coordonn´ees x ety.
(d) i. D´eterminer une ´equation de la tangente (T) `a (C) en M(0).
ii. Calculer le DL3(0) def(t) = 12 +t+t2 −12t4− 12e2t.
iii. Donner la position de (C) par rapport `a (T) au voisinage deM(0).
(e) En utilisant les propri´et´es de monotonie dex et y, montrer qu’il existe
§
un unique point double sur l’arc entre M(0) et M(1).
[Consid´erer aussi les pointsM(−1) et M(−2).]
(f) Tracer soigneusement la courbe (C). (Prendre e2 = 7,4 et e−2 = 0,15.)
![On consid` ere la courbe Γ param´ etr´ ee sur I =] − 1, 1[ par x(t) = t](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)