1 Notion de courbe param´ etr´ ee

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Maple

Chapitre XII

Courbes param´ etr´ ees en coordonn´ ees cart´ esiennes

Table des mati` eres

1 Notion de courbe param´etr´ee 2

1.1 Application d’un intervalleIdeRdansR² . . . 2

1.2 Notion de courbe param´etr´ee . . . 3

1.3 Points et support d’une courbe param´etr´ee . . . 4

1.4 Exemples de trac´es de supports de courbes param´etriques . . . 4

2 Points r´eguliers 6 2.1 Vecteur vitesse . . . 6

2.2 Point r´egulier, point stationnaire . . . 7

2.3 Tangente en un point r´egulier . . . 7

2.4 Exemple d’´etude locale de courbe en un point stationnaire . . . 8

3 Branches infinies 9

4 Points multiples 14

5 Symétries éventuelles et restriction de l’intervalle d’étude 14

6 Plan d’étude d’une courbe paramétrée 18

(2)

1 Notion de courbe param´ etr´ ee

On munit le planP d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→u ,−→v).

1.1 Application d’un intervalle I de R dans R

²

Définition 1 (Première et deuxième composante d’une application d’un intervalle I de Rdans R²) Soit I un intervalle de R. Soit une application

f:I→R²; t7→f(t).

1. La premi`ere composante de l’application f est la fonction

x:I→R; t7→ abscisse def(t).

2. La deuxi`eme composante de l’applicationf est la fonction

y:I→R; t7→ ordonn´ee def(t).

Pour toutt∈I, on a donc :f(t) = (x(t), y(t)).

Remarque 1

En vertu de la dernière égalité de la définition 1, il revient au même de se donner une application d’un intervalle de RdansR² ou ses première et deuxième composantes.

Exemple 1 Soit l’application

f:R^>0→R²; t7→

ln(t),sin(t) t

.

La premi`ere composante de f est l’application

x:R^>0→R; t 7→ln(t).

Sa deuxi`eme composante est l’application

y:R^>0→R; t 7→ sin(t) t .

D´efinition 2 (Application de classeC1 d’un intervalle I de R dans R²)

Soit Iun intervalle deR. Soitf:I→R²une application, de première et deuxième composantes respectivement notéesxety. On a donc :

f : I→R²; t7→(x(t), y(t)).

On dit que l’application f est de classeC¹ surIsi les deux fonctionsxety à valeurs dans Rsont de classeC¹ (i.e. dérivables, à dérivées continues) surI.

Définition 3 (Dérivée d’une application de classe C1 d’un intervalle I de R dans R²)

Soit I un intervalle de R. Soitf:I→R² une application de classe C¹ surI, de première et deuxième compo- santes respectivement notéesxety. La dérivée de f est l’application

f^′:I→R²; t 7→(x^′(t), y^′(t)).

(3)

Exercice 1 Soit l’application

f: ]1,+∞[→R²; t 7→

t³+t

ln(t),t²+ 3t+ 1 t²+ 2

. 1. Donner les premi`eres et deuxi`emes composantes de l’applicationf.

x: → ; 7→

y: → ; 7→

2. Justifier quef est de classe C¹ sur]1,+∞[.

3. Calculer la dérivée de la fonctionf à l’aide de Maple.

Mots cl´es: diff, simplify.

f^′: → ; 7→

1.2 Notion de courbe param´ etr´ ee

Définition 4 (Courbe paramétrée) Une courbe paramétrée est une application

Γ :I→R²; t7→(x(t), y(t)) o`uI est un intervalle deR, qui est de classe C¹ surI.

Exemple 2

D’apr`es l’exercice 1,

Γ : ]1,+∞[→R²; t 7→

t³+t

ln(t),t²+ 3t+ 1 t²+ 2

est une courbe param´etr´ee.

Remarque 2

Une courbe paramétrée sera parfois donnée sous la forme (impropre) suivante : x(t) = expression en t

y(t) = expression en t o`ut∈I

(4)

I étant un intervalle deR. Par exemple la courbeΓ de l’exemple 2 aurait pu être donnée sous la forme :











x(t) = t³+t ln(t) y(t) =t²+ 3t+ 1

t²+ 2

o`u t∈]1,+∞[.

1.3 Points et support d’une courbe param´ etr´ ee

Définition 5 (Points et support d’une courbe paramétrée) Soit

Γ :I→ R²; t7→(x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee (I intervalle de R).

1. Le point de paramètre t est le point du plan notéM(t) dont les coordonnées cartésiennes dans le repère (O;−→u ,−→v)sont (x(t), y(t)). On a donc :

−−−−→

OM(t) =x(t)−→u +y(t)−→v .

2. Le support de la courbeΓ, not´eSupp(Γ), est la partie du plan P d´efini par : Supp(Γ) ={M(t) : t∈I},

i.e. Supp(Γ) est l’ensemble des points de la courbe. Si l’on identifie P avec R² au moyen du rep`ere (O;−→u ,−→v), alors :

Supp(Γ) ={(x(t), y(t)) : t∈I}

et donc Supp(Γ)admet pour repr´esentation param´etrique :







x=x(t) y=y(t)

o`ut∈I.

Exercice 2

Identifier le support de la courbe param´etr´ee

Γ :R→R²; t7→(1 +t,2−5t).

1.4 Exemples de trac´ es de supports de courbes param´ etriques

Remarque 3 (Tracé du support d’une courbe paramétrée avec Maple) Soit (a, b)∈R² tel quea < b. Soit

Γ : [a, b]→R²; t7→(x(t), y(t))

une courbe param´etr´ee. Pour tracer le supportSupp(Γ)de la courbeΓ avec Maple, on peut saisir l’instruction plot( [x(t), y(t), t=a..b] ) ;

après avoir chargé la bibliothèque plots.

(5)

Exercice 3

Tracer le support de la courbe param´etr´ee

Γ : [0,2π]→R²; t7→(1 + cos(t),2 + sin(t))

`

a l’aide de Maple et reproduire la figure obtenue ci-dessous.

1 2 3

Remarque 4 (Repr´esentation param´etrique d’un cercle)

Plus généralement le cercle de centreΩ(a, b)et de rayon r∈R^>0 admet pour représentation paramétrique : x=a+rcos(t)

y=b+rsin(t) o`ut∈[0,2π].

Exercice 4 (Courbe de Lissajous) Tracer le support de la courbe param´etr´ee

Γ : [0,2π]→R²; t7→(cos(t),sin(3t))

`

0.5 1.0

−0.5

−1.0

0.5 1.0

−0.5

−1.0

(6)

Exercice 5 (Astro¨ıde) Tracer la courbe param´etr´ee

Γ : [0,2π]→R²; t7→(cos³(t),sin³(t))

`

0.5 1.0

−0.5

−1.0

0.5 1.0

−0.5

−1.0

2 Points r´ eguliers

2.1 Vecteur vitesse

D´efinition 6 (Vecteur vitesse) Soit

Γ :I→ R²; t7→(x(t), y(t))

une courbe paramétrée (I intervalle de R). Soitt0∈I. Le vecteur vitesse au pointM(t0)de paramètret0 est le

vecteur −→

V(t0) =x^′(t0)−→u +y^′(t0)−→v . Le vecteur−→

V(t0)a donc pour coordonn´ees (x^′(t0), y^′(t0))dans la base(−→u ,−→v).

×

M(t0) Supp(Γ)

−

→V(t0)

Remarque 5 (Interpr´etation cin´ematique du vecteur vitesse)

On conserve les notations de la définition précédente. Si la courbeΓ représente l’évolution au cours du temps de la position, dans le plan, d’un mobile assimilé à un point, alors le vecteur vitesse −→

V(t0)est la vitesse de ce mobile au temps t0, dans l’acception cin´ematique du terme.

(7)

2.2 Point r´ egulier, point stationnaire

D´efinition 7 (Point r´egulier, point stationnaire) Soit

Γ :I→ R²; t7→(x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee (I intervalle de R). Soitt0∈I.

1. On dit que le pointM(t0)de param`etre t0 est r´egulier si le vecteur vitesse −→

V(t0) n’est pas nul.

2. On dit que le pointM(t0) de param`etre t0 est stationnaire (ou singulier) si le vecteur vitesse−→ V(t0) est nul.

On a donc :

• le point M(t0)de param`etre t0 est r´egulier si et seulement si(x^′(t0), y^′(t0))6= (0,0);

• le point M(t0)de param`etre t0 est stationnaire si et seulement si (x^′(t0), y^′(t0)) = (0,0); Exercice 6

D´eterminer l’ensemble des points stationnaires de la courbe Γ :R^>0→R²; t7→

t 2+ 1

2t,2 t − 1

t²

.

`

a l’aide de Maple.

Mots cl´es: diff, subs, solve.

L’ensemble des points stationnaires deΓ est :

2.3 Tangente en un point r´ egulier

D´efinition 8 (Tangente en un point r´egulier) Soit

Γ :I→ R²; t7→(x(t), y(t))

une courbe paramétrée (I intervalle de R). Soitt0∈I tel que le point M(t0)de paramètre t0 soit régulier. La tangenteTt0 àSupp(Γ)au point M(t0)de paramètret0 est la droite :

• passant par le pointM(t0);

• dirig´ee par le vecteur vitesse−→ V(t0).

×

M(t0) Supp(Γ)

−

→V(t0)

Tt0

Exercice 7

On considère à nouveau la courbe paramétrée Γintroduite dans l’exercice 6.

Soit T¹₂ sa tangente au pointM 1

2

de paramètre t= 1 2. 1. Donner une représentation paramétrique de la droiteT¹₂.

(8)

2. Affecter dans une variableTle graphe d’une^≪petite portion^≫ de la droite T¹

2 autour deM 1

2

, color´e en bleu.

3. Affecter dans une variable S le support de la restriction de la courbe Γ `a l’intervalle [0.3,5], color´e en rouge.

4. Afficher simultan´ementTet S.

Mot cl´e: display.

5. Déterminer une équation cartésienne de la tangente àSupp(Γ)au point M 1

2

de param`etret=1 2. Mots cl´es: subs, solve.

2.4 Exemple d’´ etude locale de courbe en un point stationnaire

L’étude locale d’une courbe en un point stationnaire peut nécessiter des outils que nous ne possédons pas encore, comme par exemple les développements limités.

On se contente ici d’un exemple élémentaire, où le tableau des variations conjointes des première et deuxième composantes permet de conjecturer l’allure locale du support en un point stationnaire.

Exercice 8

Soit la courbe param´etr´ee

Γ :R→R²; t7→ t², t³ . On note

x:R→R; t7→t² y: R→R; t7→t³ les premi`ere et deuxi`eme composantes de l’application Γ.

1. Justifier que le pointM(0)de param`etre 0 est stationnaire.

(9)

2. Compl´eter le tableau suivant.

t −∞ 0 +∞

Signe de x(t) 0

Variations dex

Variations dey

Signe dey(t) 0

3. En prenant en compte les signes et variations dex ety, en partant des paramètres t négatifs pour aller vers les positifs, sans utiliser Maple, conjecturer l’allure du support de la courbe Γ au voisinage du point M(0)de paramètre0.

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

4. Tracer une^≪petite portion^≫ du support Supp(Γ)de la courbeΓautour du pointM(0)de paramètre0à l’aide de Maple pour vérifier la conjecture émise à la question précédente.

3 Branches infinies

Soient

• I un intervalle deRqui est ouvert en au moins l’une de ses extr´emit´es ;

• t0∈Rune des extrémités deI, en lequelI est ouvert (t0n’appartient donc pas àI) ;

• Γ : I→ R²; t7→(x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee.

(10)

On se propose d’étudier le tracé du supportSupp(Γ) de la courbe Γ^≪à mesure que le paramètretse rapproche de l’extrémitét0de l’intervalle de définition^≫.

Pour cela on distingue plusieurs situations, dans lesquelles on peut donner l’allure de la^≪portion de support^≫ qui nous int´eresse. La liste des cas donn´ee ci-dessous n’est pas exhaustive (puisque rien n’assurea priorique les limites introduites existent).

(+∞, finie) Cas o`ux(t) →

t→t0

+∞ et y(t) →

t→t0

b∈R La droite d’´equationy=best asymptote `a Supp(Γ).

Supp(Γ) b

(−∞, finie) Cas o`ux(t) →

t→t0

−∞ et y(t) →

t→t0

b∈R La droite d’´equationy=best asymptote `a Supp(Γ).

Supp(Γ)

b

(finie , +∞) Cas o`ux(t) →

t→t0

a∈R et y(t) →

t→t0

+∞

La droite d’´equationx=aest asymptote `a Supp(Γ).

Supp(Γ)

a

(11)

(finie ,−∞) Cas o`ux(t) →

t→t0

a∈R et y(t) →

t→t0

−∞

La droite d’´equationx=aest asymptote `a Supp(Γ).

Supp(Γ) a

(±∞,±∞) Cas o`ux(t) →

t→t0

±∞ et y(t) →

t→t0

±∞

Dans ce cas, on doit faire une étude supplémentaire, à savoir : on étudie la limite éventuelle du quotient y(t)

x(t) quandt tend verst0.

Il faut alors distinguer plusieurs sous-cas. Encore une fois, la liste n’est pas exhaustive, la limite que l’on

´etudie n’existant pas n´ecessairement.

(±∞,±∞,±∞) Cas o`ux(t) →

t→t0

±∞ , y(t) →

t→t0

±∞et y(t) x(t) →

t→t0

±∞

Le support Supp(Γ) admet une branche parabolique de direction asymptotique (Oy).

Supp(Γ)

(12)

(±∞,±∞, 0) Cas o`ux(t) →

t→t0

±∞ , y(t) →

t→t0

±∞et y(t) x(t) →

t→t0

0

Le support Supp(Γ) admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox).

Supp(Γ)

(±∞,±∞, finie non nulle ,±∞) Cas o`u











x(t) →

t→t0

±∞ y(t) →

t→t0

±∞

y(t) x(t) →

t→t0

a∈R^∗ y(t)−ax(t) →

t→t0

±∞

Le support Supp(Γ) admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’´equation y=ax.

Supp(Γ)

y=ax

(13)

(±∞,±∞, finie non nulle , finie) Cas o`u











x(t) →

t→t0

±∞ y(t) →

t→t0

±∞

y(t) x(t) →

t→t0

a∈R^∗ y(t)−ax(t) →

t→t0

b∈R

Le support Supp(Γ) admet la droite d’´equationy=ax+bpour asymptote.

Supp(Γ)

y=ax+b

Exercice 9 (Portion du folium de Descartes) Soit la courbe param´etr´ee

Γ : ]−1,+∞[→R²; t7→

6t

1 +t³, 6t² 1 +t³

.

1. Étudier la branche infinie de Supp(Γ) quand le paramètre t tend vers−1. On fera une étude analytique détaillée et on vérifiera les études de limites à l’aide de Maple.

Mot cl´e: limit.

(14)

2. S’inspirer de la démarche exposée dans l’exercice 7 (cf. questions 1–4) pour vérifier graphiquement le résultat obtenu à la question précédente.

4 Points multiples

D´efinition 9 (Point multiple) Soit

Γ :I→ R²; t7→(x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee (I intervalle de R).

Un point M du supportSupp(Γ)est dit multiple s’il existe(t1, t2)∈I² tel que : t16=t2

M(t1) =M(t2) ce qui s’´ecrit encore :







t16=t2

x(t1) =x(t2) y(t1) =y(t2).

Remarque 6

Intuitivement un point multiple d’une courbe param´etr´ee est un point en lequel on repasse (au moins) deux fois lorsque l’on trace le support de la courbe.

Exercice 10

Γ :R→ R²; t7→(t−t³, t²−t³).

Etudier ses ´eventuels points multiples `´ a l’aide de Maple.

Mots cl´es: subs, solve.

5 Sym´ etries ´ eventuelles et restriction de l’intervalle d’´ etude

Soit

Γ :I→ R²; t7→(x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee (Iintervalle deR).

On s’intéresse aux symétries éventuelles que peut avoir le supportSupp(Γ) de la courbe paramétrée, ceci afin de réduire l’intervalle d’étude.

1. Cas oùΓ est périodique (i.e. xet y sont périodiques) de période T >0

• Interprétation géométrique de l’hypothèse Soitt∈I. Par hypothèse, on a donc :

t+T ∈I , x(t+T) =x(t) et y(t+T) =y(t).

Par suite, les pointsM(t) de param`etret etM(t+T) de param`etret+T sont confondus.

(15)

• R´eduction de l’intervalle

On effectue l’´etude sur un intervalle de longueurT, centr´e en 0.

• Construction du support complet de la courbe

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalle de longueur T choisi pour l’étude. On obtient ainsi le support complet de la courbe, sans qu’il n’y ait besoin de compléter.

2. Cas o`uxety sont paires

−t∈I , x(−t) =x(t) et y(−t) =y(t).

Par suite, les pointsM(t) de param`etret etM(−t) de param`etre−tsont confondus.

On effectue l’´etude sur l’intervalleI ∩ R⁺.

On trace le support de la restriction de la courbe `a l’intervalle I ∩ R⁺. On obtient ainsi le support complet de la courbe, sans qu’il n’y ait besoin de compl´eter.

3. Cas o`uxety sont impaires

−t∈I , x(−t) =−x(t) et y(−t) =−y(t).

Par suite, le pointM(−t) de paramètre−test le symétrique du pointM(t) de paramètretpar rapport

`a l’origine.

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalleI ∩ R⁺, puis on ajoute son symétrique par rapport à l’origine pour obtenir le support complet de la courbe.

4. Cas o`uxest paire ety est impaire

−t∈I , x(−t) =x(t) et y(−t) =−y(t).

`

a l’axe (Ox).

(16)

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalleI ∩ R⁺, puis on ajoute son symétrique par rapport à l’axe (Ox) pour obtenir le support complet de la courbe.

5. Cas o`uxest impaire ety est paire

−t∈I , x(−t) =−x(t) et y(−t) =y(t).

`

a l’axe (Oy).

On trace le support de la restriction de la courbe à l’intervalleI ∩ R⁺, puis on ajoute son symétrique par rapport à l’axe (Oy) pour obtenir le support complet de la courbe.

Exercice 11

Γ :R→ R²; t7→(cos(t),sin(2t)).

1. En utilisant la parité et la périodicité, justifier que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à [0, π]. On expliquera comment construire le support de la courbe Γ, connaissant le support de la courbeΓ|[0,π].

2. Soitt∈[0, π]. Comparer les points M(t)de param`etre tetM(π−t)de param`etre π−t.

(17)

3. Déduire de la question 2. que l’on peut réduire l’intervalle d’étude à 0,^π₂

. On expliquera comment construire le support de la courbeΓ|[0,π], connaissant le support de la courbeΓ|[0,^π₂].

4. Tracer le support de la courbe Γ restreinte `a l’intervalle [0,^π₂] `a l’aide de Maple et reproduire la figure obtenue ci-dessous.

0.5 1.0

−0.5

−1.0

0.5 1.0

−0.5

−1.0

5. Compléter la figure précédente pour obtenir le support complet de la courbeΓ.

6. V´erifier le r´esultat de la question 5, en tra¸cant le support complet de la courbeΓ avec Maple.

(18)

6 Plan d’´ etude d’une courbe param´ etr´ ee

On donne ici un plan pour étudier une courbe paramétrée.

Soit

Γ :I→ R²; t7→(x(t), y(t)) une courbe param´etr´ee (Iintervalle deR).

1. Étudier la périodicité et la parité afin de réduire le domaine d’étude à un intervalleJ. 2. Dresser le tableau de variation conjoint des fonctionsxet y surJ.

3. Étudier les branches infinies éventuelles surJ. 4. Déterminer les points stationnaires éventuels.

5. Tracer le support de la courbe restreinte àJ à l’aide des informations précédemment obtenues.

6. D´eduire de la question 5 le trac´e du support complet de Γ.

Remarque 7

Si le temps le permet et si l’étude n’est pas trop délicate, on peut aussi déterminer les points multiples.

Exercice 12

Etudier la courbe param´etr´ee´

Γ :I→ R²; t7→ e^t−t, e^t−3t−1 .