Feuilleno6 MM2
Courbes param´ etr´ ees
Courbes param´etr´ees en coordonn´ees cart´esiennes Exercice 1. Etudier la courbe param´´ etr´ee d´efinie par
x(t) = cos 3t y(t) = sin 2t Exercice 2. Etudier la courbe param´´ etr´ee d´efinie par
x(t) = 2 cos 2t y(t) = sin 3t Exercice 3. Etudier la courbe param´´ etr´ee d´efinie par
x(t) = 1−t2 1 +t2 y(t) = t3
1 +t2 Exercice 4. Etudier la courbe param´´ etr´ee d´efinie par
x(t) = 1 t y(t) = t3+ 2
t Exercice 5. Etudier la courbe param´´ etr´ee d´efinie par
x(t) = et y(t) = t2
On d´eterminera le point d’inflexion ainsi que l’´equation de la tangente en ce point.
Courbes cart´esiennes classiques
Exercice 6 (Astro¨ıde). Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par x(t) = cos3t
y(t) = sin3t 1. ´Etudier cette courbe.
2. On note A(t) et B(t) les points d’intersection des axes (Ox) et (Oy) avec tangente au point de param`etre t6= 0 [π/2] de la courbe pr´ec´edente. Calculer la distanceA(t)B(t).
Exercice 7 (Lemniscate de Bernoulli). Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par
x(t) = sint 1 + cos2t y(t) = sintcost 1 + cos2t
.
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1. ´Etudier cette courbe.
2. On introduit les pointsF(1/√
2,0) etF0(−1/√ 2,0).
Montrer que pour tout point M de la courbe ci-dessus M F ×M F0 = 1
2 Exercice 8 (Tractrice). Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par
( x(t) = t−tht y(t) = 1
cht 1. ´Etudier cette courbe.
2. On noteAle point d’intersection de l’axe (Ox) avec la tangente au pointM de param`etretde la courbe ci-dessus. Pr´eciser la nature du mouvement du pointA ainsi que la valeur de la distance AM.
Exercice 9 (Cardo¨ıde). Etudier la courbe param´´ etr´ee d´efinie par x(t) = 2 cost+ cos 2t
y(t) = 2 sint+ sin 2t Exercice 10 (Delto¨ıde). Etudier la courbe param´´ etr´ee d´efinie par
x(t) = 2 cost+ cos 2t y(t) = 2 sint−sin 2t Probl`emes relatifs aux tangentes
Exercice 11. Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par x(t) = 3t2
y(t) = 2t3 1. ´Etudier cette courbe.
2. D´eterminer les droites qui sont `a la fois tangente et normale `a cette courbe.
Exercice 12. Soit la courbe param´etr´ee d´efinie par x(t) = 4t3
y(t) = 3t4 1. ´Etudier et repr´esenter cette courbe.
2. Former une ´equation de la tangente au point de param`etret∈R.
3. D´eterminer un param´etrage du lieu des points d’o`u l’on peut mener deux tangentes `a la courbe pr´ec´edente orhogonales et ´etudier cette courbe.
Exercice 13. Soit t7→M(t) un arc r´egulier tel que en tout point M(t), la tangente est Dt : (t3+ 3t)x−2y=t3
D´eterminer un param´etrage en coordonn´ees cart´esiennes de cet arc et le repr´esenter.
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Exercices suppl´ementaires
Exercice 14. D´eterminer une condition sur a etb telle que la courbe suivante poss`ede un point de rembroussement :
x(t) = 2t+ a t2
y(t) = t2+2b t Exercice 15. Soit C la courbe param´etr´ee donn´ee par
x(t) = t3 3t+ 1
y(t) = 3t2 3t+ 1 1. Montrer qu’il existea,betc∈Rtels que
t→±∞lim x(t)−ay(t)2−by(t) =c
2. En d´eduire queC est asymptote `a la parabole P d’´equationx=ay2+by+c.
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