Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
TP n˚4
Courbes param´ etr´ ees en coordonn´ ees polaires
SoitCla courbe de param´etrage polaire :
ρ:R→R; θ7→1−2 cos(2θ).
On ne tracera pas la courbeC avec Maple avant d’avoir achev´ee l’´etude.
1. Soitθ∈R. Compl´eter l’´egalit´e vectorielle suivante, qui d´efinit le pointM(θ) de la courbeC.
−−−−→
OM(θ) =
2. Soit θ ∈ R. Compl´eter l’´egalit´e vectorielle suivante, qui d´efinit le vecteur vitesse au point M(θ) de la courbeC.
−−→
V(θ) =
3. Justifier que le domaine d’´etude peut ˆetre r´eduit `a l’intervalle [0,π2] et expliquer comment l’on peut d´eduire le support de la courbe C`a partir du support de la courbeC restreinte `a [0,π2].
4. Montrer, `a l’aide de Maple, queρs’annule une unique fois sur [0,π2], pour un angleθ0 que l’on pr´ecisera.
θ0 =
5. Justifier queρest de classeC∞ sur [0,π2].
1
6. Calculerρ′, au moyen de Maple.
ρ′: [0,π2]→R; θ7→
7. Compl´eter le tableau ci-dessous qui donne les variations et le signe de ρsur [0,π2], `a l’aide de Maple.
θ
Signe deρ′(θ)
Variations deρ
Signe deρ(θ)
8. Compl´eter les identit´es vectorielles suivantes, `a l’aide de Maple.
−−−−→
OM(0) =
−−→
V(0) =
−−−−−→
OM(θ0) =
−−−→
V(θ0) =
−−−−−→ OM(π2) =
−−−→ V(π2) =
2
9. Sur le graphique suivant tracer :
• les trois pointsM(0),M(θ0),M(π2) ;
• les trois tangentes en les points M(0),M(θ0),M(π2) ; puis repr´esenter l’allure du support de la courbeC.
10. V´erifier la r´eponse donn´ee `a la question pr´ec´edente `a l’aide de Maple, en utilisant la commandepolarplot.
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