Courbes param´ etr´ ees

Courbes param´ etr´ ees

1 Pr´ eliminaire : Fonctions ` a valeurs vectorielles

E₂ R² est muni du produit scalaire et de la norme usuels.

D´efinition. Soit I un intervalle de R. Soit f~ : I Ñ R²

t ÞÑ pxptq, yptqq

. On dit que f~ a pour limite ` p`1, `2q en asi et seulement si :

}f~ptq `} ÝÝÑ

tÑa 0

Propri´et´e. f~tend vers`en asi et seulement si :

$&

%

xptq ÝÝÑ

tÑa `₁ yptq ÝÝÑ

tÑa `₂

Rappel. On dit qu’une fonction estde classe C¹ lorsqu’elle est d´erivable et que sa d´eriv´ee est continue.

Propri´et´e. f~ est de classe C¹ si et seulement si les applications x et y sont de classe C¹. Dans ce cas, @t P I, ~f¹ptq px¹ptq, y¹ptqq

Propri´et´e. Si les applications f , ~g~ : I Ñ R² sont de classe C¹, alors pf~~gq : I Ñ R

t ÞÑ f~ptq ~gptq

est de classe C¹ et

pf~~gq¹pf~¹~gq pf~~g¹q

Propri´et´e. Si l’applicationf~ : I Ñ R² est de classe C¹ etf~ne s’annule pas surI, alors }f~} : I Ñ R

t ÞÑ }f~ptq} b

f~ptq f~ptq est de classe C¹ et

}f~}¹ pf~f~¹q }f~} Propri´et´e. Si les applicationsf , ~g~ : I Ñ R² sont de classeC¹, alors

detpf , ~gq~ : I Ñ R

t ÞÑ detpf~ptq, ~gptqq

est de classe C¹ et

detpf , ~gq~ ¹ detpf~¹, ~gq detpf , ~g~ ¹q

2 Etude locale des courbes param´ ´ etr´ ees

2.1 Pr´esentation

D´efinition. On munit le plan Pd’un rep`ere orthonormal R pO;~ı, ~q. Soit I un intervalle deR etf~ : I Ñ R² une application de classeC¹. On note encorepxptq, yptqqles coordonn´ees def~ptq. L’ensemble des pointsM de Ptels qu’il existe tPI avecÝÝÑOM f~ptq s’appelle unecourbe param´etr´ee.

#xxptq yyptq

est une repr´esentation param´etrique de la courbe. On note Mptq le point de param`etre t, qui a pour coordonn´ees pxptq, yptqq.

Exemple.

• Le bicorne

• Repr´esentation param´etrique d’une droite dans le plan :

#xa αt

y b βt

• Repr´esentation param´etrique d’un cercle du plan :

#xa Rcost y b Rsint Exemple.

• Repr´esentation param´etrique rationnelle du cercle trigonom´etrique , priv´e deAp1,0q:

#x ¹₁^t_t²2

y ₁^2t_t2

t=tan^θ₂

cosθ= ^1−t_1+t²2

sinθ = _1+t^2t2

2.2 Points r´eguliers

D´efinition. Un point M₀pt₀q d’une courbe param´etr´ee par f~ est dit r´egulier si et seulement si f~¹pt₀q ~0, c’est-`a-dire si x¹pt0qety¹pt0qne s’annulent pas simultan´ement.

Il est dit singulierou stationnaire sinon.

Propri´et´e. La tangente `a la courbe en un point r´egulier est dirig´ee par le vecteur f~<sup>1</sup>pt0q, c’est-`a-dire le vecteur de coordonn´ees ^x_y1^1p_p^t_t^0q

0q

.

Exemple. Soit la courbe param´etr´ee par :

#xt² 1 yt³ t 1 .

Montrer que cette courbe est r´eguli`ere en tous ses points, et d´eterminer les coordonn´ees du point de param`etre 1, ainsi que la tangente en ce point.

2.3 Branches infinies

D´efinition. Soit Γ une courbe param´etr´ee par f~ d´efinie sur I, de fonctions coordonn´ees px, yq. Soit t0 un

´el´ement de I, ou une borne deI (peut-ˆetre 8). On dit que Γ pr´esente une branche infinie lorsquetÑ t₀

si et seulement si }f~ptq} ÝÝÝÑ

tÑt0 8.

Ce logo signale un lien vers une animationgeogebradisponible sur le sitempsi1.lamartin.fr/geogebra

Remarque.

D´efinition. En une branche infinie, on dit que Γ pr´esente unedirection asymptotique si et seulement si la direction deÝÝÝÝÑ

OMptq admet une limite, c’est-`a-dire si ^y_x^p_p^t_t^q_q une limite.

Remarque.

R`egle d’´etude (si seule l’une des coordonn´ees tend vers l’infini).

• Si

$&

%

xptq ÝÝÝÑ

tÑt0 8

yptq ÝÝÝÑ

tÑt0

bP R , alors Γ admet pour asymptote la droite horizontale d’´equation yb.

• Si

$&

%

xptq ÝÝÝÑ

tÑt0

aP R yptq ÝÝÝÑ

tÑt0 8 , alors Γ admet pour asymptote la droite verticale d’´equationxa.

Dans ce cas, la comparaison deyptqpar rapport `ab(resp. dexptq par rapport `aa) au voisinage det₀ donne la position de la courbe par rapport `a son asymptote.

R`egle d’´etude (si les deux coordonn´ees tendent vers l’infini).

Si ^y_x^p_p^t_t^q_q ÝÝÝÑ

tÑt0 8, alors Γ pr´esente unebranche paraboliquede direc-

tion asymptotique verticale.

O

Γ

t→t0

R`egle d’´etude (si les deux coordonn´ees tendent vers l’infini).

Si ^y_x^p_p^t_t^q_q ÝÝÝÑ

tÑt0

0, alors Γ pr´esente unebranche paraboliquede direction

asymptotique horizontale.

O Γ

t→t0

R`egle d’´etude (si les deux coordonn´ees tendent vers l’infini).

Si

$&

%

yptq

xptq ÝÝÝÑ

tÑt0

aP R

yptq axptq ÝÝÝÑ

tÑt0

8 alors Γ admet unebranche parabolique

de direction asymptotique d’´equation yax.

O Γ

t→t0

y = ax

R`egle d’´etude (si les deux coordonn´ees tendent vers l’infini).

Si

$&

%

yptq

xptq ÝÝÝÑ

tÑt0

aP R yptq axptq ÝÝÝÑ

tÑt0

bP R alors Γ admet une asymptote d’´equa-

tion yax b.

O Γ

t→t0

y = ax + b

Remarque.

Dans ce dernier cas, la position de la courbe par rapport

`

a son asymptote est donn´ee par le signe deyptqpaxptq bq.

O

y = ax + b

M(t)

P(t)

x(t) y(t)

ax(t) + b

2.4 Compl´ements

R´esultat. En un point singulier, la tangente est dirig´ee par le premier vecteur d´eriv´e non nul.

Remarque. On peut ´etudier plus pr´ecis´ement les points singuliers en interpr´etant le DL dexptqet yptq. Voir exercices.

R´esultat. En un point d’inflexion, detpf¹ptq, f²ptqqs’annule.

3 Etude globale ´

3.1 Plan d’´etude d’une courbe param´etr´ee

Soit Γ une courbe param´etr´ee par f~ : I Ñ R² dont on note x ety les fonctions coordonn´ees.

(a) R´eduction de l’ensemble d’´etude par observation des sym´etries, p´eriodicit´es etc, avec figures.

(b) On ´etudie les variations de x et de y dans le mˆeme tableau, et l’on d´etermine les points singuliers (i.e.

tels que x¹ptq y¹ptq 0).

(c) On ´etudie l’allure de la courbe au voisinage des points singuliers.

(d) On ´etudie les branches infinies.

(e) On peut ´etudier des points remarquables ´eventuels (intersection avec les axes, points `a tangente parall`ele aux axes, points d’inflexion. . . )

(f) On peut rechercher d’´eventuels points multiples, c’est-`a-direM ^x_y¹

1

tel qu’il existeu, v deux valeurs det telles que ÝÝÑOM fpuq fpvq.

(g) On place les ´el´ements remarquables. On joint ensuite ceux-ci en respectant les variations dex et de y.

3.2 Exemples

Exemple 1. #

xptq sin 2t yptq sin 3t

Exemple 2. #

xptq ₁^t_t3

yptq ₁^t2_t3

4 Compl´ ements

4.1 Utilisation de Maple On utilise la syntaxe :

> plot( [exp1, exp2, t = t1..t2] );

o`u exp1etexp2 d´esigne les expressions

#xptq exp1

yptq exp2 .

On peut ajouter, apr`es le crochet qui caract´erise les courbes param´etriques, les options habituelles de

plot :a..b,c..d,colour=magenta.

4.2 Repr´esenter des courbes param´etr´ees anim´ees

On peut trouver `a l’adressewims.unice.fr/wims/fr_tool~geometry~parampt.htmlun traceur de courbes

param´etr´ees avec animation du param´etrage.

4.3 Interpr´etation cin´ematique

Vocabulaire. Unmouvement ponctuel est un arc param´etr´e dans lequel la variablet d´esigne le temps.

On appelle vitesse instantan´eele vecteur f~¹ptq.

On appelle acc´el´eration instantan´eele vecteur f~²ptq.

Un mouvement ponctuel est dit uniformelorsquetÞÑ }f~¹ptq}est une application constante.

Un mouvement ponctuel est dit rectilignelorsqu’il existeDune droite telle que@t, Mptq PD.

Un mouvement ponctuel est dit`a acc´el´eration centralelorsqu’il existeAun point tel que@t, ÝÝÝÝÑAMptq, ~f²ptq est li´ee.

Constructiondecourbes 7.1

´ Etudierlesbranchesinfiniesdelacourbeparam´etr´eepar: # t xptq2t1 1 yptq2t3t2 courbeparam_17.tex 7.2Repr´esenterlacourbeparam´etr´eepar

$ ' &2 1t xptq 21t 2t' %yptq 21t

cour- beparam_7.tex 7.3

´ Etudieretrepr´esenterlacourbeparam´etr´eepar: # 2 xptqtlnt courbeparam_23.tex 2 yptqtplntq 7.4

´ Etudieretrepr´esenterlacourbeparam´etr´eepar: # 213t xptq1t Onporterauneattentionparticuli`ere`al’´etudedes3t3t yptq 1t branchesinfiniesetl’onpr´eciserale(s)point(s)double(s).courbepa- ram_22.tex 7.5Repr´esenterlacourbeparam´etr´eepar

$ &xptqcost tt %yptqcossin 33 courbeparam_6.tex 7.6 # xptq3cost3cos2tcos3t pΓq: yptq3sint3sin2tsin3t ConstruirepΓq.courbeparam_16.tex 7.7

´ Etudieretrepr´esenterlacourbeparam´etr´eepar

$ ' &t e xptq t1 t ' %te yptq t1 Onpr´eciseralespointsd’inflexions.courbeparam_8.tex

Pointsdoubles 7.8Chercherlespointsdoublesdelacourbeparam´etr´eepar: # xptq4t3 3t2 6t yptq3t2 2t1

courbeparam_3.tex 7.9Montrerquelacourbeparam´etr´eepar: # xptq3t3 2t2 t1 yptq3t2 2t1 admetunpointdouble.Pr´eciserlestangentesencepoint.courbeparam_15.tex Divers 7.10Dansleplanmunid’unrep`ereorthonorm´epO;~ı,~q,onconsi- d`erelacourbepΓqd’´equationexy 1xy. (a)Onposetxy.Exprimerxetyenfonctiondetuniquement. (b)

´ Etudierlesvariationsdexetdeyenfonctiondetetdresserle tableaudevariationdesdeuxfonctions. (c)Fairel’´etudedesbranchesinfinies. (d)Repr´esenterΓ. courbeparam_4.tex 7.11Dansunplaneuclidienrapport´e`aunrep`ereorthonormal,on consid`erel’arcparam´etr´epar: 23 tÞÑ3t~ı2t~ Existe-t-ilunedroitequisoit`alafoistangenteetnormale`acetarc? courbeparam_24.tex # xptqcos4t4cost ?7.12Onconsid`erelacourbeparam´etr´eepar 22 yptqsin3t3 (a)R´eduirel’intervalled’´etude`ar0,πs.

(b)Repr´esenterlacourbeenconnaissantletableausuivant: 0π 6π 32π 5π 24π 55π 6π x1ptq00000 y1ptq000 5 × a1a23 x×Õ×Õ 3 21a4 ×Õ a3 b1 Õ× 00b4 y×Õ× b2b30 ×Õ 2? 2 3 aveclesvaleurssuivantes: a12? 31 23b12? 2 30,9 a25cos2π 51,5b22? 2 3sinπ 50,5 a35cosπ 54,1b32? 2 3sin2π 50,9 a42? 31 24b42? 2 30,9 courbeparam_1.tex

7.13SoitCuncercledecentreOetderayonRfix´e.PournPN , onnoteC1 uncerclederayonR n,etMunpointfix´esurC1 . (a)C1 roulesansglisser`al’ext´erieurdeC.D´etermineretrepr´esen- terlelieudespointsMlorsquen1etn2.(Onparle d’´epicyclo¨ıdes) (b)C1 roulesansglisser`al’int´erieurdeC.D´etermineretrepr´esen- terlelieudespointsMlorsquen2etn3.(Onparle d’hypocyclo¨ıdes) courbeparam_18.tex Classiques,maisavecdessingularit´es 7.14Repr´esenterlacyclo¨ıde:# xptqptsintq yptqp1costq courbeparam_5.tex 7.15Repr´esenterlacardio¨ıde:# xptq2costcos2t yptq2sintsin2t

courbepa- ram_12.tex 7.16Repr´esenterl’astro¨ıde:# xptqcos3 t yptq2sin3 t courbeparam_13.tex 7.17

´ Etudieretrepr´esenterlacourbeparam´etr´eepar: #? 22 xptqcostcost2 yptqsintcost courbeparam_20.tex # 3 xptqsint 7.18Repr´esenterlacourbeparam´etr´eepar: 4 yptqcostcost courbeparam_25.tex