Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
TP n˚2
Courbes param´ etr´ ees en coordonn´ ees cart´ esiennes
Dans toute cette feuille, le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→
j).
Exercice 1 : On se propose ici de repr´esenter≪`a la main≫ l’allure locale du support de certaines courbes param´etr´ees en utilisant les indicesp et q et les vecteurs−→
Vp et −→
Vq introduit dans le cours, puis de v´erifier le r´esultat `a l’aide de Maple.
1. SoitC1 la courbe param´etr´ee d´efinie par
x(t) = t2−t3 y(t) = t2+t3.
(a) Soitt∈Ret soitM(t) le point de la courbeC1 `a l’instant t. Donner une caract´erisation vectorielle deM(t).
(b) Il est clair queM(0) =O et que le point M(0) est un point stationnaire (ou singulier) de la courbe C1. Pr´eciser les indicespetq, ainsi que les vecteurs−→
Vp et −→
Vq au pointM(0).
p= q=
−→
Vp( , ) −→
Vq( , )
(c) Repr´esenter l’allure locale du support de la courbeC1 au voisinage du pointM(0). On tracera :
• les vecteurs−→ Vp et−→
Vq au pr´ealable ;
• en bleu la partie du support correspondant aux temps n´egatifs ;
• en rouge la partie du support correspondant aux temps positifs.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
(d) V´erifier la r´eponse donn´ee `a la question pr´ec´edente `a l’aide du code suivant.
with(plots) : epsilon := 1 ;
x := t -> t^2 - t^3 ; y := t -> t^2 + t^3 ;
C_moins := plot( [ x(t) , y(t) , t = -epsilon..0 ] , color=blue ) ; C_plus := plot( [ x(t) , y(t) , t = 0..epsilon ] , color=red ) ; V_p := arrow( [1,1] , width = 0.02 , head_length=0.1 , color=pink ) ; V_q := arrow( [-1,1] , width = 0.02 , head_length=0.1 , color=green ) ; display( C_moins , C_plus , V_p , V_q ) ;
2. SoitC2 la courbe param´etr´ee d´efinie par
x(t) = t3+ 3t4 y(t) = −2t2+t4.
(a) Il est clair queM(0) =O et que le point M(0) est un point stationnaire (ou singulier) de la courbe C2. Pr´eciser les indicespetq, ainsi que les vecteurs−→
Vp et −→
Vq au pointM(0).
p= q=
−→
Vp( , ) −→
Vq( , )
(b) Repr´esenter l’allure locale du support de la courbeC2 au voisinage du pointM(0). On tracera :
• les vecteurs−→ Vp et−→
Vq au pr´ealable ;
• en bleu la partie du support correspondant aux temps n´egatifs ;
• en rouge la partie du support correspondant aux temps positifs.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
(c) V´erifier la r´eponse donn´ee `a la question pr´ec´edente `a l’aide de Maple.
3. SoitC3 la courbe param´etr´ee d´efinie par
x(t) = −t3+t4−t5 y(t) = t3−t4−t8.
(a) Il est clair queM(0) =O et que le point M(0) est un point stationnaire (ou singulier) de la courbe C2. Pr´eciser les indicespetq, ainsi que les vecteurs−→
Vp et −→
Vq au pointM(0).
p= q=
−→
Vp( , ) −→
Vq( , )
(b) Repr´esenter l’allure locale du support de la courbeC3 au voisinage du pointM(0). On tracera :
• les vecteurs−→ Vp et−→
Vq au pr´ealable ;
• en bleu la partie du support correspondant aux temps n´egatifs ;
• en rouge la partie du support correspondant aux temps positifs.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
(c) V´erifier la r´eponse donn´ee `a la question pr´ec´edente `a l’aide de Maple.
Exercice 2 : SoitC la courbe param´etr´ee d´efinie par
x(t) = sin(t)
y(t) = cos2(t) 2−cos(t).
On ne tracera pas la courbeC avec Maple avant d’avoir achev´ee l’´etude.
1. Pr´eciser le domaine de d´efinition de la courbeC.
2. Justifier que le domaine d’´etude peut-ˆetre r´eduit `a l’intervalle [0, π] et expliquer comment l’on peut d´eduire le support de la courbe C`a partir du support de la courbeC restreinte `a [0, π].
3. Justifier que les fonctionsxety sont de classeC∞ sur [0, π].
4. Calculerx′ et y′ au moyen de Maple.
x′: [0, π]→R; t7→
y′: [0, π]→R; t7→
5. Montrer, `a l’aide de Maple, que la courbeCposs`ede un unique point singulier atteint en un tempst0∈[0, π]
que l’on pr´ecisera.
t0 =
−−−−−→ OM(t0) =
6. ´Etudier, `a l’aide de Maple, l’allure du support de la courbeC au voisinage de pointM(t0).
x(t0) =
y(t0) =
p =
−→ Vp =
q =
−→ Vq =
7. Dresser le tableau des variations conjointes de xet de y.
t
Signe dex′
Variations dex
Variations de y
Signe dey′
8. Repr´esenter l’allure du support de la courbe C.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
−0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9
−1.0
9. V´erifier la r´eponse donn´ee `a la question pr´ec´edente `a l’aide de Maple.
