La M´ecanique des Fluides.
Formules pour l’examen
26 avril 2005
A Quelques Equations Importantes.
ρDv Dt =ρ
̶v
∂t +v.∇v
!
= ∇.σ+ρb,
= −∇p+∇.T+ρb. (1)
∇.v= 0. (2)
A.1 Coordonn´ ees cart´ esiennes(x, y, z).
ρ
̶vx
∂t +vx∂vx
∂x +vy∂vx
∂y +vz∂vx
∂z
!
= ∂Txx
∂x +∂Txy
∂y +∂Txz
∂z − ∂p
∂x +ρbx, (3) ρ
̶vy
∂t +vx
∂vy
∂x +vy
∂vy
∂y +vz
∂vy
∂z
!
= ∂Txy
∂x + ∂Tyy
∂y + ∂Tyz
∂z − ∂p
∂y +ρby, (4) ρ
̶vz
∂t +vx∂vz
∂x +vy∂vz
∂y +vz∂vz
∂z
!
= ∂Txz
∂x +∂Tyz
∂y +∂Tzz
∂z − ∂p
∂z +ρbz. (5)
∂vx
∂x +∂vy
∂y + ∂vz
∂z = 0. (6)
A.2 Coordonn´ ees cylindriques (r, θ, z).
ρ
̶vr
∂t +vr∂vr
∂r + vθ r
∂vr
∂θ − v2θ
r +vz∂vr
∂z
!
= 1 r
∂
∂r(rTrr) + 1 r
∂Trθ
∂θ +∂Trz
∂z − Tθθ r
−∂p
∂r +ρbr, (7)
ρ
Ã∂vθ
∂t +vr∂vθ
∂r +vθ r
∂vθ
∂θ +vrvθ
r +vz∂vθ
∂z
!
= 1
r2
∂
∂r(r2Trθ) + 1 r
∂Tθθ
∂θ + ∂Tθz
∂z
−1 r
∂p
∂θ +ρbθ, (8)
ρ
̶vz
∂t +vr∂vz
∂r +vθ r
∂vz
∂θ +vz∂vz
∂z
!
= 1 r
∂
∂r(rTrz) + 1 r
∂Tθz
∂θ +∂Tzz
∂z
−∂p
∂z +ρbz. (9)
1 r
∂
∂r(rvr) + 1 r
∂vθ
∂θ + ∂vz
∂z = 0. (10)
A.3 Coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, φ).
ρ
̶vr
∂t +vr∂vr
∂r +vθ
r
∂vr
∂θ + vφ
rsinθ
∂vr
∂φ − vθ2+vφ2 r
!
= 1
r2
∂
∂r(r2Trr) + 1 rsinθ
∂
∂θ(Trθsinθ) + 1 rsinθ
∂Trφ
∂φ − Tθθ+Tφφ r − ∂p
∂r +ρbr(11), ρ
Ã∂vθ
∂t +vr
∂vθ
∂r + vθ r
∂vθ
∂θ + vφ rsinθ
∂vθ
∂φ +vrvθ r − vφ2
r cotθ
!
= 1
r3
∂
∂r(r3Trθ) + 1 rsinθ
∂
∂θ(Tθθsinθ) + 1 rsinθ
∂Tθφ
∂φ −Tφφ
r cotθ− 1 r
∂p
∂θ +ρbθ(12), ρ
Ã∂vφ
∂t +vr∂vφ
∂r +vθ
r
∂vφ
∂θ + vφ
rsinθ
∂vφ
∂φ +vrvφ
r + vθvφ
r cotθ
!
= 1
r3
∂
∂r(r3Trφ) + 1 rsinθ
∂
∂θ(Tθφsinθ) + 1 rsinθ
∂Tφφ
∂φ + Tθφ r cotθ
− 1 rsinθ
∂p
∂φ+ρbφ. (13)
1 r2
∂
∂r(r2vr) + 1 rsinθ
∂
∂θ(sinθvθ) + 1 rsinθ
∂vφ
∂φ = 0. (14)
B Quelques Tenseurs
B.1 Tenseur de vitesse de d´ eformation ˙ γ = ∇v + ∇v
TB.1.1 Coordonn´ees cart´esiennes (x, y, z)
˙
γxx = 2∂vx
∂x, (15)
∂v
˙
γzz = 2∂vz
∂z , (17)
˙
γxy = ˙γyx = ∂vy
∂x +∂vx
∂y , (18)
˙
γyz = ˙γzy = ∂vz
∂y +∂vy
∂z , (19)
˙
γzx = ˙γxz = ∂vx
∂z + ∂vz
∂x. (20)
B.1.2 Coordonn´ees cylindriques (r, θ, z)
˙
γrr = 2∂vr
∂r , (21)
˙
γθθ = 2
Ã1 r
∂vθ
∂θ + vr
r
!
, (22)
˙
γzz = 2∂vz
∂z , (23)
˙
γrθ = ˙γθr = r ∂
∂r
µvθ r
¶
+1 r
∂vr
∂θ , (24)
˙
γθz = ˙γzθ = 1 r
∂vz
∂θ +∂vθ
∂z , (25)
˙
γzr = ˙γrz = ∂vr
∂z +∂vz
∂r . (26)
B.1.3 Coordonn´ees sph´eriques (r, θ, φ)
˙
γrr = 2∂vr
∂r , (27)
˙
γθθ = 2
Ã1 r
∂vθ
∂θ +vr
r
!
, (28)
˙
γφφ = 2
à 1 rsinθ
∂vφ
∂φ + vr
r +vθcotθ r
!
, (29)
˙
γrθ = ˙γθr = r ∂
∂r
µvθ r
¶
+ 1 r
∂vr
∂θ , (30)
˙
γθφ = ˙γφθ = sinθ r
∂
∂θ
µ vφ sinθ
¶
+ 1
rsinθ
∂vθ
∂φ, (31)
˙
γφr = ˙γrφ = 1 rsinθ
∂vr
∂φ +r ∂
∂r
µvφ r
¶
. (32)
B.2 Tenseur de d´ eformation relative infinit´ esimale
Avec
˙
γ =∇v+ (∇v)T , (33)
on d´efinit
γ(t0, t) =
Z t
s=t0γ(s)ds.˙ (34)
C Quelques Th´ eor` emes
C.1 Th´ eor` eme de transport de Reynolds
Soit V(t) un volume mat´eriel et G(x, t) une fonction vectorielle ou tensorielle quel- conque. Alors
d dt
Z
V(t)GdV =
Z
V(t)
µDG
Dt +G∇.v
¶
dV.
C.2 Th´ eor` eme de la divergence
Soit V un domaine limit´e par une surface ferm´ee simple S et n le vecteur unitaire normal `a S dirig´e vers l’ext´erieur de V, on a la relation int´egrale suivante pour F (vecteur ou tenseur)
Z
SF.ndS =
Z
V ∇.FdV.
D Quelques ´ equations constitutives
D.1 Le fluide newtonien g´ en´ eralis´ e
T=η( ˙γ)γ,˙ (35)
♦ Mod`ele de Cross
η−η∞ η0−η∞
= 1
1 + (Kγ)˙ k, (36)
♦ Mod`ele de Carreau
η−η∞
η0−η∞ = 1
(1 + (Kγ)˙ 2)k/2, (37)
♦ Mod`ele loi-puissance de Ostwald et de Waele
η=mγ˙n−1. (38)
D.2 Mod` eles visco´ elastiques lin´ eaires
♦ Le mod`ele visco´elastique lin´eaire g´en´eral
T(t) =
Zt
−∞
G(t−s)γ(s)ds,˙ (39)
= −
Zt
−∞
M(t−s)γ(t, s)ds, (40)
♦ Mod`ele de Maxwell.
T+λ1 ∂
∂tT=η0γ.˙ (41)
et ses formes int´egrales
T(t) =
Zt
−∞
½η0
λ1exp(−(t−s)/λ1)
¾
˙ γ(s)ds,
= −
Zt
−∞
(η0
λ21 exp(−(t−s)/λ1)
)
γ(t, s)ds,
(42)
