1. ´ Ecrire X A et X B “en coordonn´ ees” et calculer [X A , X B ]. V´ erifier en particulier qu’il s’agit aussi d’un champ de vecteurs lin´ eaires.

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

Feuille 5

Exercice 1. Crochet de champs de vecteurs lin´ eaires. Etant donn´ ´ ee une matrice A ∈ M _n ( R ), on note X _A le champ de vecteurs sur R ⁿ d´ efini par x ∈ R ⁿ 7→ Ax ∈ T _x R ⁿ ∼ = R ⁿ . Soient A et B ∈ M n (R).

1. ´ Ecrire X _A et X _B “en coordonn´ ees” et calculer [X _A , X _B ]. V´ erifier en particulier qu’il s’agit aussi d’un champ de vecteurs lin´ eaires.

2. Retrouver ce r´ esultat en utilisant la formule [X, Y ] = _dt ^d (ϕ ^t _X ) ^∗ Y t=0 .

Exercice 2. Encore le changement de coordonn´ ees cart´ esiennes/polaires.

1. D´ efinir sur R ² \ {0} des champs de vecteurs X _r et X _θ formant en tout point une base orthonorm´ ee positive, telle que X r soit radial sortant. Calculer leurs flots. Calculer leur crochet de Lie.

2. Si (x, y) et (r, θ) d´ esignent respectivement les coordonn´ ees polaires et cart´ esiennes d’un point de R ² \ R − × {0}, calculer les expressions de _∂r ^∂ et _∂θ ^∂ en fonction de _∂x ^∂ et _∂y ^∂ , et calculer leur crochet de Lie. Quel est le rapport entre X _r , X _θ et _∂r ^∂ , _∂θ ^∂ ?

Exercice 3. Groupe unitaire. On consid` ere le sous-groupe U (n) = {A ∈ M n ( C ), A A ¯ ^t = I n } de GL _n ( C ).

1. Montrer que U (n) est un sous-groupe de Lie de GL n (C) ⊂ M n (C) ∼ = C ⁿ

∼ = R ²ⁿ

. 2. D´ eterminer son espace tangent en I _n et sa dimension.

3. Montrer que U (n) est compact.

4. Montrer que le d´ eterminant d´ efinit un morphisme de groupes surjectif et submersif de U (n) dans U (1) ∼ = S ¹ .

5. En d´ eduire que le noyau de ce morphisme, SU (n), est ´ egalement un sous-groupe de Lie de GL n ( C ) et d´ eterminer sa dimension.

6. Montrer que SU (n) agit transitivement sur S ²ⁿ⁻¹ , avec stabilisateur isomorphe ` a SU (n−1).

En d´ eduire que S ²ⁿ⁻¹ est diff´ eomorphe ` a SU (n)/SU (n − 1).

7. En d´ eduire que S ³ est diff´ eomorphe ` a SU (2). Expliciter un tel diff´ eomorphisme et son inverse.

Exercice 4. Fibration de Hopf. (Re)munir C P ⁿ ∼ = C ⁿ⁺¹ / C ^∗ d’une structure de vari´ et´ e diff´ erentiable en utilisant les r´ esultats de cours sur les actions de groupes de Lie. Justifier que CP ⁿ ∼ = S ²ⁿ⁺¹ /S ¹ (quelle est l’action de S ¹ sur S ²ⁿ⁺¹ consid´ er´ ee ? la structure diff´ erentiable sur le quotient S ²ⁿ⁺¹ / S ¹ ?)

Exercice 5. Groupe de Heisenberg. Consid´ erons le sous-groupe H de GL(3, R ) constitu´ e des matrices de la forme





1 x z 0 1 y 0 0 1



 , x, y, z ∈ R .

1. Montrer que H est bien un sous-groupe de Lie de GL(3, R ).

2. Montrer que l’algebre de Lie de H, not´ ee Lie(H), est isomorphe ` a hX, Y, Z : [X, Y ] = Z, [X, Z] = 0, [Y, Z] = 0i.

3. Montrer par un calcul direct que l’application exponentielle exp : Lie(H) → H est un diff´ eomorphisme.

4. Montrer que l’on a l’identit´ e

exp(A) exp(B) = exp(A + B + 1

2 [A, B])

pour tous A, B ∈ Lie(H).