Universit´e de Nice L1SV Math´ematiques pour la Biologie
NOM : Semaine du 12 mars 2012
PRENOM : Groupe : .
Math´ematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-r´eponses du TD 6 Un mod`ele simplifi´e du switch g´en´etique
On consid`ere un syst`eme de 2 g`enes de niveau d’exspressionx et y respectivement, ayant la dynamique
suivante :
x0 = f(y)−λx
y0 = f(x)−µy (1)
o`u f est une fonction en escalier qui mod´elise l’inhibition de chaque g`ene sur l’autre g`ene et o`u λet µ sont des coefficients de d´egradation que l’on supposera ´egaux `a 1 pour simplifier. On suppose quef(y) vaut 5 si 0≤y <1 et 0 si 1≤y <5.
1. Tracer le graphe de la fonctionf et indiquer que vaut le syst`eme diff´erentiel (1) dans le rectangle
1≤x <5, 0≤y <1
x0 = ...
y0 = ... (2)
2. V´erifier que ses solutions sont de la forme (x(t) = 5 +ce−t et y(t) = de−t o`u c et d sont des constantes et en d´eduire que les trajectoires sont des droites d’´equationy =dc(x−5).
3. Tracer ci-dessous, en restant dans le rectangle, quelques unes de ces trajectoires.
4. V´erifier que toutes les trajectoires tendent vers le point (5,0) qui est un ´equilibre de type noeud attractif (appel´e le point focal du rectangle).
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5. Indiquer ce que vaut le syst`eme diff´erentiel (1) dans le carr´e 0≤x <1, 0≤y <1 et v´erifier que ses solutions sont de la forme (x(t) = 5 +ce−t et y(t) = 5 +de−t), o`uc etdsont des constantes.
x0 = ...
y0 = ... (3)
6. En d´eduire que les trajectoires dans ce carr´e ont aussi un point focal vers lequel elles tendent et tracer, en restant dans le carr´e, quelques unes de ces trajectoire dans la figure ci-dessus.
7. Tracer les graphes t → x(t) et t → y(t) des deux composantes de la trajectoire issue du point (x0= 0.5,y0= 0).
8. Reprendre les questions pr´ec´edentes pour le rectangle et la carr´e restant et compl´eter le trac´e des trajectoires dans la figure ci-dessus.
9. Voyez-vous pour quelle raison ce mod`ele porte le nom de switch ?
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