Enonc´e noA475 (Diophante)
Les ´equations diophantiennes de 2010 Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1 : Existe-t-il un couple d’entiers x ety > 0 tels que x+y, 2010x+y etx+ 2010y sont tous les trois des carr´es parfaits ?
Soienta2, b2, c2 les trois carr´es de l’´enonc´e.
On a b2+c2= 2011(x+y).
2011 est premier et de reste 3 modulo 4, il ne peut donc diviser une somme de 2 carr´es que si chacun des carr´es est multiple de 2011, avec un exposant pair. Donc x+y est multiple de 2011 avec un exposant impair.
Mais x+y est un carr´e, donc tous ses diviseurs premiers y ont un exposant pair, contradiction.
La r´eponse `a cette question est n´egative.
Question 2 : Existe-t-il un couple d’entiersxety >0 tels quex2+2010y ety2+ 2010x sont tous deux des carr´es parfaits ?
Pour les plus courageux : d´efinir l’ensemble des entiers naturels k >0 auxquels on peut associer au moins un couple d’entiers naturels x et y >0 tels quex2+ky ety2+kxsont tous deux des carr´es parfaits.
Cherchons les solutions o`ux=y;x2+kx=x(x+k) doit ˆetre un carr´e, et siP GCD(x, k) =d,x/det (x+k)/dsont des carr´esa2 etb2. Il faut donck=d(b2−a2), et avec x=y=da2 on ax2+ky= (dab)2. L’´equation 2010 =d(b2−a2) admet 13 triplets solutions (d, a, b) : (2,26,41) ; (2,98,103) ; (2,166,169) ; (2,502,503) ; (6,31,36) ; (6,167,168) ; (10,32,35) ; (10,100,101) ; (30,33,34) ; (134,1,4) ; (134,7,8) ; (402,2,3) ; (670,1,2).
D’o`u 13 valeurs pourx=y: 1352, 19208, 55112, 504008, 5766, 167334, 10240, 100000, 32670, 134, 6566, 1608, 670.
Cela ne pr´ejuge pas de l’existence de solutions avecx6=y.
De mani`ere g´en´erale, on a au moins une solution pour l’´equation k=d(b2−a2) :
– quandkest impair >1 :
k= 2m+ 1 = (m+ 1)2−m2, (d, a, b) = (1, m, m+ 1) ; – quandk/2 est entier impair>1 :
k= 4m+ 2 = 2((m+ 1)2−m2), (d, a, b) = (2, m, m+ 1) ; – quandk/4 est entier>1 :
k= 4m= (m+ 1)2−(m−1)2, (d, a, b) = (1, m−1, m+ 1).
Ainsi le syst`eme donn´e admet au moins une solution x =y pour tout kqui n’est pas 1, 2 ou 4.
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Si k est 1, 2 ou 4, l’´equation k = d(b2−a2) n’a pas de solution et le syst`eme donn´e ne peut pas avoir de solution avecx=y.
Examinons s’il peut exister une solution avec x 6= y, et par exemple x > y,y≤x−1, puisque x ety jouent des rˆoles sym´etriques.
Sik= 1 ou 2, x2< x2+ky≤x2+ 2x−2<(x+ 1)2,
et x2 +ky, dans l’intervalle de deux cazrr´es cons´ecutifs, ne peut ˆetre un carr´e.
Sik= 4, x2 < x2+ 4y≤x2+ 4x−4<(x+ 2)2,
et x2 + 4y ne peut ˆetre un carr´e car ce nombre a mˆeme parit´e que x alors que le seul carr´e de l’intervalle est (x+ 1)2, de parit´e contraire.
En conclusion, pas de solution sik est 1, 2 ou 4, au moins une solution sinon.
Question 3 : Trouver deux nombres premierspetqtels qu’il existe deux entiers naturelsx ety satisfaisant les deux relations 1
2010+ 1 x = 1
pq et p
2010 +q y = 1 .
En essayant py = 2010, on trouve y = q + 1, 2010 = p(q + 1), puis x=pq(q+ 1).
Commepetqdoivent ˆetre premiers, on donne `apla valeur des diviseurs premiers de 2010 :
2010 = 2(1004 + 1) = 3(669 + 1) = 5(401 + 1) = 67(29 + 1).
Seules les deux derni`eres factorisations donnent pourq un nombre pre- mier, respectivement 401 et 29, d’o`u deux solutions pour le quadruplet (p, q, x, y) : (5, 401, 806010, 402) et (67, 29, 58290, 30).
Cela ne pr´ejuge pas de l’existence d’autres solutions avecpy 6= 2010.
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