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Trouver tous les entiers k-carr´ement parfaits inf´erieurs `a 2011 pour k = 2,3,4, etc

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Enonc´e noA547 (Diophante) Les entiers carr´ement parfaits

En g´en´eralisant la notion bien connue de nombre parfait, on dit qu’un entier estk-carr´ement parfait s’il est ´egal `a la somme des carr´es de sesk premiers diviseurs class´es par ordre croissant.

Trouver tous les entiers k-carr´ement parfaits inf´erieurs `a 2011 pour k = 2,3,4, etc.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Les seuls entiersk-carr´ement parfaits inf´erieurs `a 2011 sont 130 = 12+ 22+ 52+ 102 (k= 4)

et 1860 = 12+ 22+ 32+ 42+ 52+ 62+ 102+ 122+ 152+ 202+ 302 (k= 11).

C’est ce que donne le petit programme (Java) suivant, ´epargnant une re- cherche qui serait bien laborieuse `a la main :

int n,d,c ;

for(n=2 ;n<2011 ;n++)

{ d=1 ; c=1 ; while(c<n) { d++ ; if(n %d==0) c+=d*d ;}

if(c==n) System.out.println(n) ; }

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