A362 – Les réversibles [***à la main]
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q₁ Déterminer les valeurs possibles de k
Q₂ Pour chacune des valeurs de k précédemment determinées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Solution proposée par Raymond Bloch
Q1.
Soit nk le plus petit entier réversible par k (cad par multiplication par k), A son chiffre de gauche et Z son chiffre de droite, 2≤k≤9 : k*(A…Z) = (Z…A) donc
k*Z ≡ A (mod. 10) et k*A = Z (1). D’où k*Z k2 * A A (mod. 10) , et donc (k2 – 1)*A ≡ 0 (mod. 10).
Les seules solutions de cette congruence sont : - k = 4, avec A = 2.
- k = 9, avec A = 1.
4 et 9 sont donc les seules valeurs possibles de k.
(1) k*A=Z suppose qu’il n’y a pas de retenue vers la colonne de gauche dans la multiplication k*nk, ce qui se vérifie facilement pour k = 4 et 9.
Q2.
Pour k = 4, on trouve n4 = 2178 : 2178*4 = 8712, et les seuls autres entiers réversibles par 4 s’obtiennent en ajoutant autant de 9 que l’on souhaite au centre de chaque réplique de 2178, et autant de 0 que l’on souhaite entre deux répliques de 2178. En particulier 2199999978*4 = 8799999912, 2197821978*4 = 8791287912, et 2178002178*4 = 8712008712.
Pour k = 9, n9 = 1089, avec ici encore la possibilité d’ajouter des 9 et des 0. Donc 1099999989*9 = 9899999901, 1098910989*9 = 9890198901, et 1089001089*9 = 9801009801.
Les six nombres en caractères gras sont les seuls nombres réversibles de 10 chiffres.
