Enoncé A362 (Diophante) Les réversibles
Un entier n est appelé réversible s’il est un multiple k de l’entier m ob- tenu en lisant nde droite à gauche. Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres. Si k = 1, l’entier n est un palindrome.
On s’intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2Pour chacune des valeurs dekprécédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Le nombre n a a pour chiffre de gauche et b pour chiffre des unités. Le nombre m =n/k a b comme chiffre de gauche. Ainsi b =ba/kc. D’autre part,aest le chiffre des unités dem, d’où pour chiffre des unités den=km, b=ka (mod 10).
Il en résulte que ba/kc −kaest multiple de 10. Evaluant cette expression pour k = 2 à 9 (m et n ayant le même nombre de chiffres, k < 10), et a = 1 à 9, la condition est satisfaite par les couples (a, k) : (5,6), (5,8), (8,4) et(9,9).
Quand a = 5, b = 0, ce qui ne convient pas car m a alors un chiffre de moins que n; même si l’on acceptait cette écriture non standard de m, il n’y a pas de solution avec k= 8, mais 5604390/0934065 = 6.
On va voir que les bonnes valeurs de k sont 4 et 9.
Question 2
Pourk= 4, les étapes de la discussion sont les suivantes.
Début de n 8. . ., d’où début de m 20. . .à 224. . . ; fin de n . . . i2 avec i impair pour quensoit multiple de 4 ; début dem21. . . ; début den84. . .à 879. . . ; parmi les fins 48 à 78 de m, seul 78 donne 12 comme fin de n; début den87. . .à 879. . . ; début dem 2175. . .à 2199. . . ; fin den712, 812 ou 912, d’où fin de m 178, 478, 678 ou 978, avec pour n les possibilités 871. . .712, 874. . .912, 876. . .712, 879. . .912.
Mais 874. . .912/4=218. . ., ne satisfait pas la réversibilité ; de même 876. . .712/4=219. . . ; les solutions qui subsistent sont
4 = 8712
2178 = 87912
21978 = 879. . .912
219. . .978, où on peut intercaler des 9 entre 87 et 12.
En poursuivant la démarche d’addition chiffre par chiffre, on a aussi les solutions telles que 8712. . .8712, où on peut intercaler des zéros ou de nouveaux blocs 8712, en respectant simplement un schéma palindromique.
Pour k = 4, les solutions à 10 chiffres sont 8712008712, 8791287912, et 8799999912.
De manière analogue, on obtient 9 = 9801
1089 = 98901
10989 = 989. . .901 109. . .989. Cela donne pourk= 9 les solutions à 10 chiffres 9801009801, 9890198901, 9899999901.
Remarque. Le nombre formé par q chiffres a, multiplié par 99, fournit un nombren réversible deq+ 2 chiffres dontq−2 chiffres 9 centraux.
