Enoncé A483 (Diophante) 3,2,1. . . Partez
Q1 : trouver tous les entiers naturelsx, yetztels que les trois restes de la division du produit de deux d’entre eux par le troisième sont tous égaux à 1.
Q2 : trouver tous les entiers naturelsx, yetztels que les trois restes de la division du produit de deux d’entre eux par le troisième sont égaux à 3, 2 et 1.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Les propriétés de divisibilité montrent que x, y, z sont distincts, deux à deux premiers entre eux, et différents de 1.
Soit (yz−1)(zx−1)(xy−1) =dxyz avec dentier. On en tire
1/x+ 1/y+ 1/z = 1/(xyz) +d−xyz+x+y+z = e+ 1/(xyz) avec e entier.
Supposant 2≤x < y < z, on élimine successivement les hypothèsese≥2 (care <3/x≤3/2), donce= 1 ;
puis y≥4, (car alors 1/x+ 1/y+ 1/z ≤1/2 + 1/4 + 1/5 <1 =e), donc x= 2,y= 3 puis z= 5.
Les nombres cherchés sont 2, 3 et 5.
Question 2
Il y a 32 triplets (x, y, z) répondant à la question :
(5,7,34) ; (5,9,22) ; (5,11,18) ; (5,13,16) ; (5,17,14) ; (5,21,13) ; (5,29,12) ; (5,53,11) ; (8,5,39) ; (8,35,9) ; (11,5,27) ; (11,43,8) ; (14,5,23) ; (17,5,21) ; (17,117,7) ; (20,69,7) ; (23,5,19) ; (23,53,7) ; (26,45,7) ; (29,5,18) ; (29,9,10) ; (32,11,9) ; (32,37,7) ; (38,33,7) ; (41,5,17) ; (50,29,7) ; (62,27,7) ; (74,7,11) ; (77,5,16) ; (86,25,7) ; (101,13,8) ; (158,23,7).
Voir justification page suivante.
1
Les propriétés de divisibilité montrent quex, y, zsont distincts et différents de 1.
Soit x, y, z les diviseurs donnant respectivement les restes 3, 2, 1, ce qui exige x≥4 et y≥3.
Alors (yz−3)(zx−2)(xy−1) =dxyz avec dentier. On en tire
2/x+ 3/y+ 6/z= 6/(xyz) +d−xyz+ 3x+ 2y+z=e+ 6/(xyz) avec e entier ; e≥1 car 6/z >6/(xyz).
Si z est pair,xy est impair donc aussix ety; si x est pair,yz est impair donc aussi y et z; si y était pair, zx serait pair donc aussi z ou x, et y devrait être impair, contradiction. Ainsi y est impair.
Si z = 2, y divise 2(x−1), x = 1 +ky avec k pair car x est impair, 2y= 3 +mxavec m impair, d’où
y(mk−2) +m+ 3 = 0, impossible.
Ainsi les plus petites valeurs des nombres x, y, z sont 3, 4 et 5, et (y étant impair) la plus grande valeur de 2/x+3/y+6/zest 2/5+3/3+6/4 = 29/10, d’où e≤2.
Pour discuter la condition 2/x+3/y+6/z=e+6/(xyz) avece= 1 ou 2, j’y introduis de la symétrie en considérant l’ensemble {3x,2y, z}={u, v, w}; la condition devient
1/u+ 1/v+ 1/w=e/6 + 6/(uvw).
Comme x, y, z≥3 et sont distincts,v+w≥2·3 + 4 = 10. Cela entraîne eu >6, car sieu≤6
10≤v+w= (e/6−1/u)vw+ 6/u≤6/u≤e≤2, contradiction.
Supposons u≤v≤w, alors 3/u≥1/u+ 1/v+ 1/w > e/6, et u <18/e.
Réécrivant la condition sous la forme
(v(eu−6)−6u)(w(eu−6)−6u) = 36(u2−eu+ 6),
pour chaque valeur de u dans l’intervalle 6/e < u <18/e, il s’agit de voir si le second membre admet une factorisation en deux facteurs de la forme v(eu−6)−6u.
Le tableau suivant donne le résultat de cette exploration.
Le nombre #1 est celui des couples (v, w) satisfaisant la condition avec u≤v≤w;
#2 est celui des triplets (3x,2y, z), avec y impair, que l’on peut tirer des ensembles{u, v, w};
#3 est celui des triplets (x, y, z) répondant réellement à la question 2. En effet, la division parxyz faite pour obtenir la condition (au lieu des trois divisions parx,y etz) introduit des solutions parasites.
u e #1 #2 #3
4 2 6 4 0
5 2 4 1 0
6 2 4 4 0
7 1 14 15 10
7 2 0 0 0
8 1 6 4 2
8 2 0 0 0
9 1 8 12 2
10 1 8 13 9
11 1 4 3 2
12 1 4 6 1
13 1 1 1 1
14 1 1 2 2
15 1 2 4 3
16 1 0 0 0
17 1 0 0 0
2
