Exercice 2 Déterminer tous les entiers naturels x et y vérifiant x

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-2020

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Exercices d’arithmétique Divisiblité, congruences

Exercice 1 (Changements de base) Écrire 1427 en base 7.

Exercice 2 Déterminer tous les entiers naturels x et y vérifiant x

²

− 4 y

²

= 13.

Exercice 3 Démontrer que pour tout entier n ∈ N , l’entier n ( n + 2)(7 n − 5) est divisible par 6.

Exercice 4 Nous sommes le lundi 9 décembre 2019. Quel jour de la semaine serons-nous le 9 décembre 2020 ?

Exercice 5 (Une équation diophantienne)

1. Démontrer que pour tout n ∈ N , 8 ne divise pas (3

ⁿ

+ 1).

2. En déduire toutes les solutions ( m, n ) ∈ ( N

^∗

)

²

de l’équation 2

^m

− 3

ⁿ

= 1.

Exercice 6 Déterminer le chiffre des unités de 7

⁽⁷⁷⁾

.

Exercice 7 (Nombre de multiples) Soit n ∈ N

^∗

et k ∈ N tel que k 6 n . Combien y-a-t-il de multiples de k inférieurs ou égaux à n ?

PGCD et Bezout

Exercice 8 (Points entiers d’une droite) On veut trouver tous les couples d’entiers (x, y) tels que

62 x + 43 y = 1 (E) .

1. Déterminer le PGCD d de 62 et 43 en utilisant l’algorithme d’Euclide, puis déterminer un couple d’entiers (u

0

, v

₀

) tel que d = 62u + 43v.

2. Démontrer que si (x, y) et (x

0

, y

₀

) sont solutions de (E), alors 62 divise (y − y

₀

). En déduire que les solutions de (E) sont les couples de la forme :

(u

0

, v

₀

) + k( − 43, 62), k ∈ Z . 3. Quelle est l’interprétation géométrique du couple ( − 43, 62) ? 4. Résoudre l’équation diophantienne 744 x + 516 y = 12.

Exercice 9 (Inverse modulo n) Soit n ∈ N

^∗

. Soit a et b deux entiers. On dit que a est l’inverse de b modulo n, si ab ≡ 1[n].

1. Déterminer l’inverse de 3 modulo 10. Le nombre 2 est-il inversible modulo 10 ?

2. Démontrer qu’un entier a est inversible modulo n si, et seulement si a ∧ n = 1. En déduire

les inversibles modulo 10 et modulo 11.

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2 3. Déterminer l’inverse de 12 modulo 35.

4. Démontrer que si ab ≡ ac [ n ] et a ∧ n = 1, alors b ≡ c [ n ]. Le résultat est-il vrai sans la dernière hypothèse ?

Exercice 10 (Chiffrement affine) On numérote les lettres de l’alphabet de 0 à 25. On va coder ces nombres à l’aide d’une fonction de chiffrement. On pose A = J0 , 25K, si x ∈ A , on note f (x) le reste de 17x + 22 dans la division euclidienne par 26 (ou f(x) ≡ 17x + 22[26]).

Cela définit ainsi une application f de A dans A.

1. Chiffrer le mot BAC.

2. Déterminer un entier u tel que 17u ≡ 1[26]. En déduire que l’application f est bijective, déterminer son application réciproque.

3. Déchiffrer alors le mot BEC.

Exercice 11 Soit n ∈ N . Déterminer le pgcd de : 1. 3n

²

+ 2n et n + 1. 2. n + 1 et 3n − 2.

Nombres premiers

Exercice 12 Soit n > 2 un entier. Le nombre n

⁴

+ 4 est-il premier ? On pourra factoriser le polynôme X

⁴

+ 4 en remarquant que X

⁴

+ 4 = (X

²

+ 2)

²

− 4X

²

.

Exercice 13 (Plages de nombres composés arbitrairement longues) Construire 1000 en- tiers consécutifs non premiers. On pourra considérer les successeurs de 1001!.

Exercice 14 (Vu à l’oral) Soit p > 5 un nombre premier. Démontrer que p

²

− 1 est divisible par 24.

Exercice 15 (Nombres de Fermat)

1. Soit a et b des entiers et k un entier naturel impair. Démontrer que a + b divise a

^k

+ b

^k

. 2. Soit n ∈ N , démontrer que si 2

ⁿ

+ 1 est premier, alors n est une puissance de 2.

3. On appelle nombre de Fermat, les entiers de la forme F

_n

= 2

²ⁿ

+ 1 avec n ∈ N . Pierre de Fermat avait conjecturé que les nombres de Fermat étaient tous premiers. Que pensez-vous de sa conjecture ?

Exercice 16 (Nombres premiers dans une progression arithmétique) On veut montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à − 1 modulo 4. On raisonne par l’ab- surde, il existe alors un nombre fini de nombres premiers congrus à − 1 modulo 4 que l’on note p

₁

, . . . , p

_k

. On pose alors N = 4 p

₁

× p

₂

× · · · × p

_k

− 1.

1. 2 divise t-il N ?

2. Quels sont les nombres premiers congrus à 0 ou à 2 modulo 4 ?

3. Démontrer que N possède au moins un diviseur premier congru à − 1 modulo 4. Conclure.

(3)

3

Divers

Exercice 17 (Un vrai-faux) Soit a, b, u, v, n des entiers.

1. Si au + bv = 5, on peut en déduire que a ∧ b = 5.

2. On prend a, b, n ∈ N

^∗

. Si a ≡ b[n] alors u

^a

≡ u

^b

[n].

3. L’équation 51 x + 39 y = 1 admet une infinité de couple d’entiers ( x, y ) solutions.

4. Si u | bc et que b et c sont premiers entre eux, alors u | b ou u | c . 5. Si n > 2 est composé, alors n = ab avec a > 1 et b > 1.

6. Si n ∈ N , le nombre n

²

+ n + 41 est premier.

Exercice 18 Déterminer le nombre de diviseurs de l’entier n = 2

^a

3

^b

4

^c

avec a, b, c ∈ N

^∗

. Exercice 19 Soit n un entier qui admet une racine carrée entière et une racine cubique entière.

Démontrer que n admet une racine sixième entière.

Exercice 20 (Somme de deux carrés)

1. Démontrer que 2019 ne peut pas s’écrire comme une somme de deux carrés (d’entiers naturels), on pourra mettre ses lunettes «modulo 4».

2. Soit a et b dans N . Démontrer que si a et b s’écrivent comme somme de deux carrés (d’entiers naturels), alors le produit ab s’écrit comme somme de deux carrés (d’entiers na- turels). En déduire que l’année 2020 peut s’écrire comme somme de deux carrés (d’entiers naturels).

Exercice 21 (Racines rationnelles d’un polynôme) Soit P = a

₀

+ a

₁

X + · · · + a

_n

X

ⁿ

un polynôme à coefficients entiers avec a

_n

6 = 0. Soit

^p_q

une racine rationnelle de P avec p ∧ q = 1.

1. Démontrer que q | a

_n

et p | a

₀

.

2. Exemple 1 : quelles sont les racines rationnelles potentielles de 3 X

³

− 2 X

²

− 2 X − 5 ? 3. Exemple 2 : démontrer à l’aide de ce critère que le nombre √

³

2 n’est pas rationnel.

Exercice 22 (Sous-groupes de Z ) Soit a et b des entiers. On note d leur pgcd et m leur ppcm. Si k est un entier, on note k Z l’ensemble des multiples de k. Démontrer que