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somme des premiers entiers naturels : n X k=0 k=n(n+ 1) 2 2

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Academic year: 2022

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(1)

Sommes usuelles :

Dans tout ce qui suit, on considèren∈N.

1. somme des premiers entiers naturels :

n

X

k=0

k=n(n+ 1) 2

2. somme des premiers carrés d'entiers naturels :

n

X

k=0

k2= n(n+ 1)(2n+ 1) 6

3. somme des premiers cubes d'entiers naturels :

n

X

k=0

k3=

n(n+ 1) 2

2

On peut faire commencer chacune de ces sommes à l'indice 1, puisque le terme d'indice 0 vaut0, par exemple : Pn

k=0

k= 0 + 1 +...+n= 1 +...+n=

n

P

k=1

k=n(n+ 1) 2

4. Soit(un)n∈Nune suite arithmétique. On a : a.

n

X

k=0

uk = (n+ 1)×u0+un

2

b. Autrement dit, somme de termes conscutif s= (nombre de termes)×(premier terme) + (dernier terme) 2

c. De manière générale, on a

n

X

k=m

uk= (n−m+ 1)×um+un 2

5. Soit(un)n∈Nune suite géométrique de raisonq6= 1. On a, notamment un =u0×qn, et : a.

n

X

k=0

uk =u0×1−qn+1

1−q , cas particulier :

n

X

k=0

qk =1−qn+1 1−q

b. Autrement dit, somme de termes conscutif s= (premier terme)×1−raison(nombre de termes)

1−raison c. De manière générale, on a

n

X

k=m

uk=um×1−qn−m+1 1−q

6. téléscopage :

n

X

k=0

(uk−uk+1) =u0−un+1

7. linéarité : soit(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites, ainsi quea∈R a.

n

X

k=0

auk =a

n

X

k=0

uk

b.

n

X

k=0

(uk+vk) =

n

X

k=0

uk+

n

X

k=0

vk

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[r]

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[r]