A383 –De belles collections de palindromes
Q₁ Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.
Q₂ Démontrer que, quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.
Q₃ Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?
Solution proposée par Patrick Gordon Q₁
Tout palindrome p à n chiffres (n > 2) se déduit de manière unique d'un palindrome q à (n–2) chiffres par ajout de "marges" à gauche et à droite corrélativement de (0), 1, 2…9.
En ce qui concerne les nombres de palindromes, on est donc tenté d'écrire : N(n) = 9N(n–2).
Mais attention! Le palindrome q peut être un palindrome fictif en ce sens qu'il commence et finit par 0. Ainsi, par exemple, p = 3050990503 se déduit de q = 05099050, fictif, lui-même déduit, à un stade antérieur, de q' fictif = 0990.
Par conséquent, en notant N'(n) le nombre de palindromes de n chiffres fictifs compris, on peut écrire :
1) N(n) = 9N'(n–2), N'(n) = 10N'(n–2).
Si l'on note Mn le nombre (10n-1 + 1) formé de (n–2) zéros encadrés par le chiffre 1 de part et d'autre, les "marges" d'un palindrome p à n chiffres sont de la forme jMn (avec j = (0), 1, 2…9).
Par exemple, avec n=6, q = 5225 et p = 352253, on a : p = 10q + 300003 (10q à cause du décalage de q vers la gauche), soit :
p = 10q + 3M6 = 10q + 3(105 + 1)
Toujours avec n = 6, la somme des p, pour un q donné et j variant de (0) à 9, est :
P = 90q + 45×100001 si l'on ne considère que les vrais palindromes à 6 chiffres, P' = 100q + 45×100001 si l'on inclut les palindromes à 6 chiffres fictifs.
Dans la somme sur tous les q (y compris les fictifs), la partie "marges" est indépendante de q.
On aura donc les sommes :
2) S(n) = 90S'(n–2) + 45 N'(n–2) (10n-1 + 1) S'(n) = 100S'(n–2) + 45 N'(n–2) (10n-1 + 1).
Un décompte manuel donne les valeurs initiales :
n N(n) N'(n) S'(n) S(n)
0 0 0 0 0
1 9 10 45 45
2 9 10 495 495
3 90 100 49 950 49 500
4 90 100 499 950 495 000
Elles satisfont, à partir de n = 4, les récurrences (1) et (2) ainsi que (3), qui en résulte : 3) S(n) = 1000 S(n–2)
D'où les formules explicites :
4) N(n) = 9 × 10k, N'(n) = 10 × 10k,
avec k = (n–2)/2 si n est pair
= (n–1)/2 si n est impair et :
5) S(n) = 495 × 10k,
avec k = (3n–6)/2 si n est pair
= (3n–5)/2 si n est impair
Il en résulte que S(n) ne se termine par k = 17 zéros que pour n = 13.
S(13) = 49 500 000 000 000 000 000 Q₂
La somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est S(n) = 495 × 10k, c’est-à-dire 495 suivi de k zéros, k étant l'exposant de la formule (5). La somme des chiffres de cette somme est 4+9+5 = 18, quel que soit n.
Q₃
La somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par k zéros, k étant l'exposant de la formule (5), qui vaut :
- (3m–6)/2 si m est pair - (3m–5)/2 si m est impair Ce nombre k ne peut prendre :
- la valeur 2019 que si 4038 + 6 ou + 5 est divisible par 3 C'est le cas pour 4038 + 6 = 4044 et, comme le quotient 1348 est pair,
m = 1348 est une solution.
- la valeur 2020 que si 4040 + 6 ou + 5 est divisible par 3 C'est n'est pas le cas.
- la valeur 2021 que si 4042 + 6 ou + 5 est divisible par 3
C'est le cas pour 4042 + 5 = 4047 et, comme le quotient 1349 est impair, m = 1349 est une solution.
