A115 - Somme des produits des chiffres 0 des nombres de 1 à 999999
Solution
Commençons par considérer tous les nombres qui ne comportent pas de zéro.
Calculons S(1) somme des 9 premiers chiffres : S(1) = 45
Puis calculons S(2) somme des produits des chiffres des nombres à 2 chiffres.
Les nombres 11,12,13,…,19 ont pour produits de leurs chiffres 1,2,3,….9 dont les somme est 45.
Les nombres 21,22,23,….,29 ont pour produits de leurs chiffres 2,4,6,…..,18 dont la somme est 2*45=90
Les nombres 31,32,33,…., 39 ont pour produits de leurs chiffres 3,6,9,…..,27 dont la somme est 3*45=135
….
D’où S(2)= (1+2+3+…+9)*45 = 452
En calculant de la même manière S(3), on obtient S(3) = 45*S(2) = 453 puis S(4) = 454 et de manière générale S(n) = 45n
Considérons maintenant un nombre quelconque N 999999. Il peut s’écrire sous la forme 0ac0bc avec k chiffres a,b,c… différents de 0 et les 6-k autres chiffres égaux à 0.
Il y a C(6,k)=6 ! / [k !(6-k) !] combinaisons possibles de nombres à 6 chiffres (y compris ceux dont l’écriture commence par un ou plusieurs zéros) avec k chiffres 0 et les 6-k restants = 0 et qui ont la même somme S(n) des produits de leurs chiffres 0.
La somme recherchée S est alors égale à :S=
6 k
1 k
45k
* k)
C(6, = 9 474 296 895
La formule peut se généraliser aisément pour tout nombre N= 10p1à p chiffres et l’on obtient S =
p k
1 k
45k
* k) C(p,
