A324. Deux entiers consécutifs
Deux entiers consécutifs n et n+1 ont l'un et l'autre la somme de leurs chiffres divisible par 2009. Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
Notons aj(n) les chiffres de n. On a :
n=ak(n)ak-1(n)…a1(n)a0(n) (écriture en base 10 de n) Notons sdc(n) la fonction qui à n associe la somme de ses chiffres. On a : sdc(n)=
Σ
ak(n)Pour passer de n à n+1, deux cas se présentent. Soit le chiffre des unités est inférieur à 9, soit il est égal à 9.
Dans le premier cas, l'addition se résume à changer le dernier chiffre en son successeur et on a alors:
a0(n+1)=a0(n)+1
aj(n+1)=aj(n) pour 1 ≤ j ≤ k
On a donc sdc(n+1)=sdc(n)+1. Les deux nombres sdc(n) et sdc(n+1) ne peuvent donc pas être tous les deux des mutliples de 2009.
Le nombre n qui répond à la question se termine donc par au moins un 9.
Dans le cas où a0(n)=9, notons p le nombre de chiffres 9 qui finissent l'écriture de n en base 10. On a alors:
n=ak(n)ak-1(n)…ap(n)99…99 avec ap(n)<9 On a alors:
n+1=ak(n)ak-1(n)…ap(n+1)00…00 avec ap(n+1)=ap(n)+1 On a donc sdc(n+1)=sdc(n)+1-9p
On cherche donc à avoir:
sdc(n)=2009a avec a et b entiers naturels sdc(n)+1-9p=2009b
On doit donc avoir:
9p-1=2009(a-b)
Pour trouver l'entier naturel n le plus petit possible, il faut mnimiser son nombre de chiffres, donc minimiser p.
Le plus petit p tel que 9p congrue à 1 modulo 2009 est 893 qui est tel que 9x893 = 8037 = 2009x4+1 Il faut donc prendre p=893 et a-b=4
Le nombre n se termine donc par 893 fois le chiffre 9 dont la somme vaut 8037.
Il reste à trouver les autres chiffres de n (le dernier de ces chiffres n'est pas un 9 car ap(n)<9). Leur somme doit valoir 2009-1=2008 pour que la somme totale des chiffres de n vaille 4 x 2009 + 1 + 2008 = 5 x 2009
Pour trouver le plus petit nombre dont la somme des chiffres vaut 2008, il faut minimiser le nombre de ses chiffres. Or 2008=223x9+1 On ne peut donc pas avoir moins de 224 chiffres. Le plus petit de ces nombres de 224 chiffres sera celui qui a le plus petit premier chiffre.
Ce ne peut pas être un 1, car autrement tous les autres seront des 9, y compris le dernier qui ne doit pas en être un. Il faut donc mettre un 2 en première position et un 8 en dernier.
Le nombre n qui répond au problème est alors:
n = 299…9998999…999 formé d'un 2, de 222 fois le chiffre 9, d'un 8 et de 893 fois le chiffre 9. Il a donc 1117 chiffres.
On a bien sdc(n) = 2 + 222 x 9 + 8 + 893 x 9 = 2 + 1998 + 8 + 8037 = 10045 = 5 x 2009 n+1=299….9999000…000 formé d'un 2, de 223 fois le chiffre 9 et de 893 zéros.
sdc(n+1) = 2 + 223 x 9 = 2 + 2007 = 2009.
