Q₁ Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.
Q₂ Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.
Q₃ Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?
Il existe autant de palindromes à 2k chiffres que de nombres à exactement k chiffres, et de palindromes à 2k+1 chiffres que de nombres à exactement k+1 chiffres.
La somme Sk des entiers à k chiffres (au plus) est 5*10k-1*(10k-1) ; la somme des entiers à exactement k chiffres est donc Sk-Sk-1, et la somme des entiers à k chiffres (au plus) non divisibles par 10 est Sk-10Sk-1 :
Sk-Sk-1=5*10k-2(10*(10k-1)-(10k-1-1)=45*10k-2*(11*10k-1-1) ; Sk-10Sk-1=5*10k-1*(10k-10k-1)=45*102k-2
La somme des entiers palindromes à 2k chiffres est égale à 10k fois la somme des entiers à exactement k chiffres plus la somme des entiers à k chiffres non divisibles par 10, soit (45*102k-2)*(11*10k-1-1+1)=495*103k-3
La somme des entiers palindromes à 2k+1 chiffres est égale à 10k fois la somme des entiers à exactement k+1 chiffres plus 10 fois la somme des entiers à k chiffres non divisibles par 10, soit 45*102k-2(11*10k+1-10+10)=495*103k-1
Q1 : Puisque 17=3*6-1, la somme des entiers palindromes à 13 (=2*6+1) chiffres vaut 495*1017 et se termine par 17 zéros.
Q2 : Puisque la somme des palindromes s’écrit 4950...0, la somme de ses chiffres est toujours égale à 18.
Q2 : 2019 =3*(674-1), donc pour m=2*674=1348 la somme des palindromes à m chiffres se termine par 2019 zéros. De même 2021=3*674-1, donc pour m=1349, la somme des palindromes à m chiffres se termine par 2021 zéros. En revanche, il n’existe pas de somme de palindromes se terminant par 2020 zéros, puisque 2020 est congru à 2 modulo 3.
