Diophante A383 De belles collectons de palindromes

Diophante A383 De belles collectons de palindromes

Q1 Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.

Q2 Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.

Q3 Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?

a) Si n est pair, n = 2p. Les deux extrémités du palindrome étant données, à gauche de la moité du palindrome « déflent » les nombres de 0 à 10^p-1 – 1. À droite de la moité du palindrome, « déflent » les mêmes nombres dans un ordre diférent, mais il y a bijecton entre les deux collectons. La somme de chacune est :

C = 0 + 1 + … + 10^p-1 – 1 = 5 x (10^p-1 – 1) x 10^p-2. Cete observaton facilite le calcul :

S = [(1 + … + 9) x 10^p-1 x (10^2p-1 + 10⁰)] + [9 x C x (10^p + 10¹)] = 495 x 10^3p-3.

b) De même, si n est impair, soit n = 2p + 1, en ajoutant le chifre central, nous obtenons : S = 495 x 10^3p-1.

Q1

Si S se termine par 17 zéros, n est impair, 3p – 1 = 17 donne p = 6 puis n = 13.

S = 495 x 10¹⁷. Q2

La somme des chifres de la somme de tous les enters palindromes de n chifres est toujours celle de 495 (il n'y a ensuite que des zéros) soit 18.

Q3

Pour 2019 zéros, m est pair, 3p – 3 = 2019 donne p = 674 puis m = 1348.

Pour 2020 zéros, c'est impossible.

Pour 2021 zéros, m est impair, 3p – 1 = 2021 donne p = 674 puis m = 1349.

Jean-Louis Legrand