A383. De belles collections de palindromes ***
Q1 Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue.
Q2 Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante.
Q3 Existe-t-il un entier m tel que la somme de tous les entiers palindromes de m chiffres se termine par 2019 zéros ? par 2020 zéros ? par 2021 zéros ?
PROPOSITION
Th Eveilleau Q1Nous avons 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9
et bien entendu : 45 = 0 + 1+2+3+4+5+6+7+8+9
Les nombres de deux chiffres palindromes sont 11, 22, 33, 44, 55, 66 ,77, 88, 99
La somme de tous les palindromes de longueur 2 est 495. Soit 1*45 + 10*45 = 45*11 = 495 Les palindromes de trois chiffres sont :
101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
202 212 222 232 242 252 262 272 282 292
303 .
393
404 .
494
505 .
595
606 .
696
707 .
707
808 .
898
909 .
999
Il y a 10 possibilités de 0 à 9 pour le chiffre du centre.
Il y a 9 possibilités pour le chiffre des unités comme celui des centaines qui lui est identique.
Nous avons donc 90 = 9*10 palindromes de trois chiffres dont la somme se décompose ainsi : centaines 45*100*10 (10 lignes)
dizaines 45*9*10 (9 colonnes) unités 45*10 (10 lignes)
Pour une somme de 45 *(1000 + 90 +10) = 45 * 1100 = 49 500 Palindromes de cinq chiffres :
Il y a 90 lignes pour les palindromes centraux de longueur 3, ne commençant pas par zéro. Somme 49500.
Il y a 10 lignes pour les palindromes centraux de longueur 1, (000,010, .., 090). Somme 450 Donc 100 lignes et 9 colonnes.
Nous avons donc 900 = 9*10*100 palindromes de trois chiffres dont la somme se décompose ainsi : Gauche 45*10 000*100 (100 lignes)
Centre de 3 chiffres 49500*9*10 + 450*9*10 = 45*99 900 unités 45*100
Pour une somme de 45 *(1000 000 + 99 900+100) = 45 * 1100 000 = 49 500 000 S2= 45 (1 + 10) = 495 Pas de zéro.
S3= 45 (1 + 9*111 + 10²) = 49500 2 zéros.
S4= 450 (1 + 9*1111 + 103) = 495 000 3 zéros.
S5= 450 (1 + 9*11111 + 104) = 49 500 000 5 zéros.
S6= 4500 (1 + 9*111111 + 105) = 495 000 000 6 zéros.
S7= 4500 (1 + 9*1111111 + 106) = 49 500 000 000 8 zéros.
S8= 45000 (1 + 9*11111111 + 107) = 495 000 000 000 9 zéros.
S9= 45000 (1 + 9*111111111 + 108) = 4 9500 000 000 000 11 zéros.
Eb poursuivant : S10 12 zéros.
S11 14 zéros.
S12 15 zéros.
Longueur 13 17 zéros.
Remarques
Pour passer de n à n+2 : Sn+2= Sn*1000
Pour passer de n impair à n+1 pair : Sn+1= Sn*10 (colonne centrale répétée)
Nous avons pour n > 5
Avec n impair S = 45 (1 + 999…9 + 10n-1 )
S = 45 [10n+ 10n-1] * 10(n-1)/2 - 1 = 495 * 10n-1*10(n-3)/2}
S = 495 * 10 (3n-5)/2 Avec n pair S = 495 * 10 3(n/2-1)
La réponse attendue est n=13 pour une somme se terminant par 17 zéros soit 495*1017 Q2
La réponse découle de l’analyse précédente. La somme est toujours égale à 495 fois une puissance de 10.
Aussi la somme des chiffres de la somme de tous les entiers palindromes de n chiffres est une constante égale à 4+9+5 soit
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. Q3A priori on ne peut pas obtenir tous les nombres entiers de zéros.
Nous voyons ci-dessus que nous ne pouvons pas avoir 16 zéros.
Soit n la longueur du nombre et k le nombre de zéros correspondant à la terminaison de la somme des palindromes de longueur n.
Pour une différence égale à 2 des longueurs des palindromes, k augmente de 3.
OR 2019 = 12 + 3*669 ET n=10 k= 12
D’où pour n = 10 + 2 *669, nous aurons k = 12 + 3*669, c'est-à-dire k = 2019.
n = 1348 k=2019 PUIS n = 1349 k =2021
2019 et 2021 sont des réponses possibles.
Ce n’est pas le cas de 2020. On ne peut pas l’obtenir.
