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Deux entiers cons´ecutifs n et n+ 1 ont l’un et l’autre la somme de leurs chiffres divisible par 2009

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Academic year: 2022

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Enonc´e noA324 (Diophante) Deux entiers cons´ecutifs. . .

Deux entiers cons´ecutifs n et n+ 1 ont l’un et l’autre la somme de leurs chiffres divisible par 2009. Quelle est la plus petite valeur possible de n? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

En ajoutant 1 `an, on ajoute `a la somme des chiffres 1 diminu´e de 9 autant de fois qu’il y a une retenue dans l’addition. Ainsi avecrretenues, la somme des chiffres diminue de 9r−1 qui est un multiple de 2009.

Modulo 9, on a 2009 = 2, et−1 = 2×4. Donc 4×2009 + 1 est un multiple de 9, 9r= 9×893.

Ainsin doit se terminer par 893 chiffres 9 pour assurer le nombre voulu de retenues. Le nombren+1 va se terminer par 893 z´eros et doit avoir au moins 2009 comme somme de ses chiffres. Pour que n soit le plus petit possible, dansn+ 1 les 893 z´eros vont ˆetre pr´ec´ed´es de 223 chiffres 9 et d’un chiffre 2.

Au final, le nombrencherch´e est form´e (en partant de la gauche) d’un chiffre 2, d’un bloc de 222 chiffres 9, d’un chiffre 8, et d’un bloc de 893 chiffres 9.

La somme de ses chiffres est 10045.

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