Enonc´e noA434 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le total des sommes vers´ees jusqu’au jourk inclus peut s’´ecrire Snk/dk, o`u nketdksont des nombres entiers qu’on peut d´eterminer de proche en proche par
dk= PPCM(k, dk−1) ;nk=nk−1dk/dk−1+dk/k,
`
a partir de n1 =d1 = 1.
On dresse ainsi les trois premi`eres colonnes du tableau suivant.
k dk nk nkmod 8431 nkmod 289
1 1 1 1 1
2 2 3 3 3
3 6 11 11 11
4 12 25 25 25
5 60 137 137 137
6 60 147 147 147
7 420 1089 1089 222
8 840 2283 2283 260
9 2520 7129 7129 193
10 2520 7381 7381 156
11 27720 83711 7832 190
12 27720 86021 1711 188
13 360360 1145993 7808 108
14 360360 1171733 8255 127
15 360360 1195757 6986 164
16 720720 2436559 0 0
17 12252240 42142223 4085 243
... ... ... ... ...
Le grand argentier attend que la somme soit divisible par le nombre de soldats de la garde, que nous ne connaissons pas. Mais quand la division est possible, le quotient est 8431, qui est donc un diviseur deSnk.
Le nombre 8431 est premier ; s’il diviseS, cela ne donne aucune indication sur le moment o`u la division peut ˆetre faite. Il faut donc supposer que le facteur 8431 ne divise pasS, mais doit divisernk.
Il suffit alors d’examiner les restes des nk modulo 8431 (4e colonne du ta- bleau), et on voit que le premier reste nul se produit pour k = 16, avec n16= 8431·289.
Cela conduit `a conclure que la garde comporte 289(S/720720) soldats, soit au moins 289. On le v´erifie (colonne de droite du tableau) en constatant que k = 16 est aussi la premi`ere valeur o`u la somme Snk/dk est divisible par 289 siS ne l’est pas.
1
L’´enonc´e pr´ecisant que la garde se rassemble en carr´e, on remarque que 289 est le carr´e de 17. Ainsi la r´eponse 289 soldats est acceptable.
Le tableau conduit aussi `a une remarque : sik+ 1 est premier >3,nk est divisible par (k+ 1)2.
La divisibilit´e par k+ 1 (valable d`es k = 2) est facile `a ´etablir : `a chaque entier u entre 1 et k je peux faire correspondre un autre entier v tel que uv−1 est multiple dek+ 1, et desudistincts donnent des v distincts. Les quantit´es 1/u−vsont des fractions `a num´erateur multiple dek+ 1, et il en est de mˆeme de
P1/u−Pv =nk/dk−k(k+ 1)/2.
La divisibilit´e par (k+ 1)2 si k+ 1 = p premier> 3 se d´emontre de fa¸con analogue.
L’anneauA=Z/p2 a p2−p ´el´ements inversibles, que je peux ´ecrire sous la forme u+tp, avec 1≤u≤p−1,0≤t≤p−1.
Soitv=f(u) l’inverse de u dansA, tel quep2 diviseuv−1.
Alorsf(u+tp) =v−tpv2, puisque
(u+tp)(v−tpv2)−1 = (uv−1)(1−tpv)−t2v2p2 est multiple dep2.
Le rationnel Pp−1u=1(1/u−f(u)) est une fraction `a num´erateur multiple de p2, il s’agit donc de d´eterminer si
Pp−1
u=1f(u) = 0 (modp2).
Quel que soit t, on a f(u+tp)−f(u) = −tpf(u)2 (mod p2). On va voir que la somme de ces expressions pour 1≤u≤p−1 est multiple dep2. En effet, quand u parcourt les valeurs de 1 `a p−1, g(u) =f(u) (modp) parcourt ces mˆemes valeurs, g(u) ´etant l’inverse de u dansZ/p. Si u 6= u0, on ne peut pas avoirg(u) =g(u0) ni g(u) = 0.
De ce faitg(u)2 (modp) parcourt (deux fois) les r´esidus quadratiques mo- dulo p. La somme de ces r´esidus est nulle si p > 3 : il existe alors un non-r´esidus6=p−1, et sir parcourt les r´esidus,srparcourt les non-r´esidus, et la somme des ´el´ements inversibles de Z/p, qui est p(p−1)/2, est s+ 1 fois la somme des r´esidus. Cette derni`ere est elle aussi multiple dep, donc Pp−1
u=1f(u)2 =Pp−1u=1g(u)2= 0 (modp), Pp−1
u=1tpf(u)2= 0 (modp2), Pp−1
u=1f(u+tp) =Pp−1u=1f(u) (mod p2), quel que soit t.
En particulier sit=p−1, comme uv= (p2−u)(−v) (modp2), Pp−1
u=1f(u+tp) =Pp−1u=1f(p2−u) =Pp−1u=1(−f(u)) =−Pp−1u=1f(u) (mod p2).
Il en r´esultePp−1u=1f(u) = 0 (mod p2) comme annonc´e.
Les seuls nombres premiers qui font exception sont 2 (car Z/2 n’a pas de non-r´esidu) et 3 (car Z/3 a 2 =p−1 pour seul non-r´esidu).
2
