Montrer que le nombre 2011 est premier

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Universit´e Paris Diderot Arithm´etique

Master de Math´ematiques Ann´ee 2010-11

L. Merel

EXAMEN du 25 mai 2011

Dur´ee : 3 h

L’usage de tout appareil ´electronique et de tout document autre que des notes de cours est interdit.

Exercice 1

1. Montrer que le nombre 2011 est premier.

2. Quel est l’ordre du groupe (Z/2011Z)^∗ ? Combien ce groupe a-t-il de générateurs ? 3. Combien y a-t-il de carrés dans (Z/2011Z)^∗?

4. Le nombre 1000 est-il un carr´e modulo 2011 ?

5. Soit n et m des entiers ≥ 1. Montrer que n^m engendre (Z/2011Z)^∗ si et seulement si n engendre (Z/2011Z)^∗ etmest premier `a 2010.

6. L’ensemble des nombres premiers dont le carré est congru à 1000 modulo 2011 est-il infini ? Si oui, en donner la densité.

7. L’ensemble des nombres premiers qui engendrent (Z/2011Z)^∗est-il infini ? Si oui, en donner la densit´e.

8. L’ensemble des nombres premiers p > 2 tels que p^(p−1)/2 engendre (Z/2011Z)^∗ est-il infini ? Si oui, sa densit´e est-elle>10⁻⁷?

Exercice 2

Pournentier≥1, notonspn len-`eme nombre premier. Soitαun nombre r´eel>0.

1. Montrer quepn∼nlog(n) lorsquentend vers l’infini.

2. Posons, pour k entier ≥ 2, n_k = [αk/log(k)] et m_k = [k/log(k)], où [x] désigne la partie entière du nombre réel x. Montrer que log(nk)∼log(k) lorsquektend vers l’infini.

3. En d´eduire quepn_k∼αk lorsquektend vers l’infini.

4. Montrer que la suitepn_k/pm_k tend versαlorsquek tend vers l’infini.

5. En déduire que l’ensemble des nombres rationnels de la formep/q, oùpetqsont premiers, est dense dans l’intervalle réel [0,+∞[.

6. Montrer que P

p≤x1/p∼ log(log(x)), lorsque xtend vers l’infini et o`u, dans la somme, p parcourt les nombres premiers≤x.

7. En d´eduire que la limite deP_√

x≤p≤x1/p, lorsquextend vers l’infini et o`u, dans la somme, pparcourt les nombres premiers compris entre√

xet x.

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Exercice 3

Soit pun nombre premier. Posons Z_(p) = {u/v ∈ Q/u ∈ Z, v ∈ Z−pZ}. C’est l’ensemble des nombres p-entiers.

0. Montrer que Z_(p) = Z_p ∩Q, o`u Z_p est l’anneau des entiers p-adiques. En d´eduire que Z_(p) est un sous-anneau deQ(ou le montrer directement).

On dit que deux éléments a et b de Z_(p) sont congrus modulo p et on note a ≡ b (modp) si on a a−b ∈ pZ(p). On dit qu’une série entière P∞

k=0ckX^k/k! avec ck ∈Z(p) est p-p´eriodiquesi on a ck ≡ck⁰

(modp) lorsquek≡k⁰ (mod p−1).

Pour k entier ≥0, on note B_k lek-ème nombre de Bernoulli. Ces nombres sont donnés par la série génératrice X/(e^X −1) = P∞

k=0B_kX^k/k!, que l’on notera F(X). Soit a ∈ {1,2, ..., p−1} un entier qui engendre (Z/pZ)^∗.

1. Soitrun entier≥0. Montrer que la s´eriee^rX =P∞

k=0r^kX^k/k! est p-p´eriodique.

2. Montrer qu’une combinaison linéaire à coefficients dansZ_(p)de sériesp-périodiques estp-périodique.

3. Montrer que la s´erie (e^X−1)^mestp-p´eriodique lorsquemest un entier≥0.

4. En d´eduire que la s´erie P∞

m=0cm(e^X−1)^m est p-p´eriodique lorsque (cm)_m≥0 est une suite de nombres p-entiers.

5. Posons G(u) =a/((1 +u)^a−1)−1/u=P∞

m=0gmu^m. Montrer quegmest p-entier pour toutmentier

≥0.

6. Montrer queF(aX)−F(X) =XG(u), o`uu=e^X−1.

7. En d´eduire queBk(a^k−1)/kestp-entier, puis queBk/kestp-entier, pourkentier≥1 non divisible par p−1.

8. En d´eduire queBk(a^k−1)/k≡Bk⁰(a^k⁰−1)/k⁰ (modp) lorsquek≡k⁰ (mod p−1).

9. En d´eduire que si k et k⁰ sont des entiers congrus modulo p−1 et non divisibles par p−1, on a B_k/k≡B_k⁰/k⁰ (modp) (c’est lacongruence de Kummer).

10. Dans cette question, on fait l’hypothèse plus générale suivante : pourr entier≥1, on a la congruence B_k(a^k−1)/k≡B_k⁰(a^k⁰−1)/k⁰ (mod p^r) lorsquek etk⁰ sont congrus modulop^r−1(p−1). Montrer qu’on a (a^k−1)ζ(1−k)≡(a^k⁰ −1)ζ(1−k⁰)⁰ (mod p^r) lorsquek et k⁰ sont congrus modulo p^r−1(p−1), où ζ est la fonctionζ de Riemann. En déduire que la fonctionk7→(1−p^k−1)ζ(1−k) se prolonge par continuité p-adique en une fonctionZp×Z/(p−1)Z7→Zp.