, lorsque P est un polynôme à coecients réels et x ∈ R, on notera simplement P (x) le résultat de la substitution de X par x dans P . On notera P b (Q) le résultat de la substitution de X par Q ∈ R [X] .

Énoncé

Dans ce problème

¹

, lorsque P est un polynôme à coecients réels et x ∈ R, on notera simplement P (x) le résultat de la substitution de X par x dans P . On notera P b (Q) le résultat de la substitution de X par Q ∈ R [X] .

Pour tout entier naturel k , on dénit le polynôme Γ

k

par : Γ

0

= 1, ∀k ∈ N

^∗

, Γ

k

= 1

k! X(X − 1) · · · (X − k + 1) L'objet du problème est l'étude de ces polynômes Γ

k

et des suites (A

n

(x))

_n∈

N

avec (a

n

)

_n∈

une suite de nombres réels, x un réel xé et les polynomes A

n

dénis par

N

A

_n

=

n

X

k=0

a

_k

Γ

_k

Toutes les fonctions considérées dans ce problème sont à valeurs réelles.

Partie I. Propriétés de la famille de polynômes.

Les questions de cette partie sont indépendantes entre elles mais sont utilisées dans les parties suivantes.

1. Déterminer l'ensemble des réels h > −1 pour lesquels la suite

(ln(1 + h))

ⁿ⁺¹

n∈N

est bornée.

2. a. Préciser Γ

_k

(x) pour x ∈ J 0, k − 1 K. Préciser Γ

_k

(x) à l'aide d'un coecient du binôme pour x ∈ Z \ J 0, k − 1 K. En particulier, que valent Γ

_k

(k) et Γ

_k

(−1) ? b. Soit x un réel positif non entier. On note bxc la partie entière de x et dxe = bxc+1 .

Montrer que la suite ((−1)

ⁿ

Γ

_n

(x))

_n∈

N

est de signe constant à partir d'un certain rang à préciser.

3. Soit n ∈ N

^∗

.

a. Montrer que, pour tout entier i entre 1 et n ,

n

X

k=0

(−1)

^k

Γ

_k

(i) = 0

1d'après concours commun CENTRALE-SUP.ELEC 1991 option M,P'

b. Montrer que

n

X

k=0

(−1)

^k

Γ

k

= (−1)

ⁿ

Γ c

n

(X − 1)

4. Soit u un réel xé qui n'est pas un entier naturel. Soit ρ ∈ R, on pose

∀n ∈ N , µ

n

= n

^ρ

|Γ

n

(u)|

a. Préciser, en fonction de u et ρ seulement les coecients a et b du développement ln(µ

n

) − ln(µ

_n−1

) = a

n + b

n

²

+ o( 1 n

²

)

b. On admet que, lorsque ρ = u + 1 , la suite (ln(µ

n

))

_n∈N

est convergente de limite l(u) que l'on ne cherchera pas à calculer. En déduire qu'il existe un réel K(u) exprimé avec l(u) tel que (|Γ

n

(u)|)

_n∈N

soit équivalente à

K(u) n

^−1−u

n∈N

c. Discuter selon u réel de la convergence et de la limite de (Γ

n

(u))

_n∈

N

. Que dire lorsque u ∈ N ?

Partie II. Suite associée à une fonction.

Soit f une fonction de classe C

^∞

(I) à valeurs réelles où I est un intervalle de R qui contient N.

1. Montrer qu'il existe une unique suite (a

k

)

_k∈

N

de nombres réels tels que

∀n ∈ N , ∀i ∈ J 0, n K , f (i) −

n

X

k=0

a

k

Γ

k

(i) = 0 Dans tout le reste du problème, on dira que (a

k

)

_k∈

N

est la suite associée à f et, pour tout n ∈ N, la fonction r

n

est dénie dans I par :

r

n

= f −

n

X

k=0

a

k

Γ

k

2. Exemple. Soit b > 0 et I = R. Montrer que la suite associée à x → b

^x

est ((b − 1)

ⁿ

)

_n∈N

.

3. Soit (a

n

)

_n∈N

la suite associée à une fonction f et n ∈ N

^∗

, on note

ϕ = f −

n

X

k=0

a

_k

Γ

_k

a. Montrer que, pour tout entier k entre 0 et n , la dérivée ϕ

^(k)

s'annule en au moins n + 1 − k réels positifs distincts.

b. Montrer que, pour chaque n ∈ N, il existe un réel positif λ

n

tel que a

n

= f

⁽ⁿ⁾

(λ

n

) .

Partie III. Un exemple.

Soit λ > 0 . Dans cette partie, f est la fonction dénie dans I =] − λ, +∞[ par x 7→ f (x) = 1

x + λ

La suite (a

n

)

_n∈N

est la suite associée à f , la fonction r

n

est dénie comme dans II.

1. Calculer a

0

, a

1

, a

2

.

2. En remarquant que la fonction x 7→ (x + λ)r

_n

(x) est polynomiale, montrer que

∀x ∈ I, r

_n

(x) = −(n + 1)a

_n

Γ

n+1

(x) x + λ 3. a. Montrer que

∀n ∈ N , (n + 1 + λ)a

n+1

= −(n + 1)a

n

b. Montrer que

∀n ∈ N , (n + 1)a

n

= −1 Γ

_n+1

(−λ) 4. Soit x > −λ xé. Montrer que la suite (A

n

(x))

_n∈

N

dénie à partir de la suite associée à f comme dans l'introduction converge vers f(x) .

Partie IV. Une expression du reste.

Soit f ∈ C

^∞

(I) à valeurs réelles où I est un intervalle qui contient N et (a

n

)

_n∈

N

la suite associée à f . Pour chaque n ∈ N, on pose

r

n

= f −

n

X

k=0

a

k

Γ

k

1. Pour chaque u ∈ I \ N xé, on pose

ψ = r

n

− r

_n

(u) Γ

n+1

(u) Γ

n+1

Montrer que la dérivée ψ

⁽ⁿ⁺¹⁾

s'annule au moins une fois dans I . 2. Montrer que, pour tout u ∈ I \ N, il existe v ∈ I tel que

r

n

(u) = f

⁽ⁿ⁺¹⁾

(v)Γ

n+1

(u)

3. On suppose dans cette question qu'il existe un M > 0 et un naturel n

0

tels que :

∀n ≥ n

0

, ∀x ∈ I \ N , f

⁽ⁿ⁾

(x)

≤ n M Soit u > 0 xé. Montrer que la suite (r

_n

(u))

_n∈

N

converge vers 0 .

4. Que peut-on dire d'une fonction C

^∞

(I) qui s'annule sur tous les entiers naturels ?

Partie V. Un autre exemple.

Dans cette partie, on considère une suite (a

n

)

_n∈

N

géométrique de raison h ∈ R et on étudie, pour u réel xé, la suite (A

n

(u))

_n∈

N

avec A

n

=

n

X

k=0

h

^k

Γ

k

1. Dans cette question, h = −1 . Pour u réel et n naturel, que vaut A

_n

(u) ? Discuter selon u ∈ R de la convergence et de la limite de la suite (A

_n

(u))

_n∈

N

. 2. Dans cette question, −1 < h < 0 .

a. Montrer que, pour tout u réel, la suite (A

_n

(u))

_n∈

N

est monotone à partir d'un certain rang.

b. Montrer que, pour −1 < u , la suite (A

n

(u))

_n∈

N

est convergente. On note g(u) sa limite.

c. Montrer que, pour −1 < u et

¹_e

− 1 ≤ h < 0 , g(u) = (1 + h)

^u

. 3. Dans cette question, 0 < h < 1 .

a. Montrer que, pour tout u réel, les suites extraites (A

2n

(u))

_n∈N

et (A

2n+1

(u))

_n∈N

sont adjacentes à partir d'un certain rang.

b. Montrer que, pour tout u réel, la suite (A

n

(u))

_n∈N

est convergente. On note g(u) sa limite.

c. Montrer que g(u) = (1 + h)

^u

pour tout u réel.

4. Dans cette question h = 1 .

a. Montrer que, pour tout u ≤ −1 , la suite (A

n

(u))

_n∈N

diverge.

b. Montrer que, pour tout u > −1 , la suite (A

n

(u))

_n∈

N

converge vers 2

^u

.

Corrigé

Partie I. Propriétés de la famille de polynômes.

1. Soit h > −1 . La suite (ln(1 + h)

ⁿ⁺¹

n∈N

est donc bien dénie. Elle est bornée si et seulement si | ln(1 + h)| ≤ 1 c'est à dire

1

e − 1 ≤ h ≤ e − 1

2. a. Pour k ∈ N

^∗

, les entiers 0, 1, . . . , k − 1 sont les racines de Γ

k

donc Γ

k

(x) = 0 pour x ∈ J 0, k − 1 K.

Pour x ∈ N \ J 0, k − 1 K, Γ

k

(x) =

_k!¹

x(x − 1) . . . (x − k + 1) =

^x_k

Pour x ∈ Z \ N,

Γ

k

(x) = 1

k! x(x − 1) . . . (x − k + 1)

= (−1)

^k

k! (−x)(−x + 1) . . . (−x + k − 1) = (−1)

^k

−x + k − 1 k

En particulier, on trouve Γ

_k

(k) =

^k_k

= 1 et Γ

_k

(−1) = (−1)

^{k 1+k−1}_k

= (−1)

^k

. b. Soit x ∈ R

+

\ N et n ∈ N, alors Γ

n

(x) 6= 0 et

Γ

_n+1

(x)

Γ

n

(x) = − x − n

n + 1 ≥ 0 ⇔ ssi n ≥ x La suite est donc de signe constant à partir de n = dxe .

3. a. Soit i ∈ J 1, n K. Pour k ∈ J i + 1, n K Γ

_k

(i) = 0 et comme démontré à la question 2a.

D'où

n

X

k=0

(−1)

^k

Γ

k

(i) =

i

X

k=0

(−1)

^k

Γ

k

(i) =

i

X

k=0

(−1)

^k

i

k

= 0 b. Notons P = P

n

k=0

(−1)

^k

Γ

k

. Pour k ∈ N, Γ

k

est de degré k . Le polynôme P est donc de degré n et de coecient dominant

⁽⁻¹⁾_n!ⁿ

qui est le coecient dominant de (−1)

ⁿ

Γ

n

.

D'autre part, d'après la question précédente les i ∈ J 0, n K sont racines de P .

Comme P est de degré n , ce sont exactement toutes ces racines et elles sont de

multiplicité 1 . On en déduit que

P = (−1)

ⁿ

n! (X − 1)(X − 2) . . . (X − n) on reconnait (−1)

ⁿ

Γ c

n

(X − 1) D'où

n

X

k=0

(−1)

^k

Γ

k

= (−1)

ⁿ

Γ c

n

(X − 1)

4. a. Calculons le développement en regroupant sous un même logarithme ln µ

n

− ln µ

n−1

= ln µ

n

µ

_n−1

= ln n

n − 1

ρ

Γ

n

(u) Γ

_n−1

(u)

= ln n

n − 1

ρ

u − n + 1 n

= −ρ ln

1 − 1 n

+ ln

1 − u + 1 n

pour n ≥ u + 1

= −ρ

− 1 n − 1

2n

²

+ o 1

n

²

+

− u + 1

n − (u + 1)

²

2n

²

+ o

1 n

²

= ρ − (u + 1)

n + ρ + (u + 1)

²

2n

²

+ o

1 n

²

b. Pour ρ = u + 1 , comme admis dans l'énoncé, la suite (ln(µ

_n

))

_n∈

N

est convergente de limite l(u) , donc la suite ((µ

_n

)

_n∈

N

est convergente de limite e

^l(u)

6= 0 et donc µ

_n

∼ e

^l(u)

D'où

n

^u+1

|Γ

n

(u)| ∼ e

^l(u)

et donc

|Γ

n

(u)| ∼ e

^l(u)

n

^−(u+1)

c. De l'équivalence |Γ

n

(u)| ∼ e

^l(u)

n

^−(u+1)

, on peut déduire :

• pour u > −1 , |Γ

n

(u)| → 0 donc (Γ

n

(u))

_n∈

N

converge vers 0 .

• pour u < −1 , |Γ

n

(u)| → +∞ donc (Γ

n

(u))

_n∈

N

diverge.

Pour u ∈ N, à partir du moment où n ≥ u , Γ

n

(u) = 0 et donc (Γ

n

(u))

_n∈

N

converge vers 0 (stationnaire).

Partie II. Suite associée à une fonction.

1. Soit i ∈ N et k ≥ i alors Γ

_k

(i) = 0 donc les équations

∀n ∈ N , ∀i ∈ J 0, n K , f (i) −

n

X

k=0

a

k

Γ

k

(i) = 0 reviennent à

∀i ∈ N f (i) −

i

X

k=0

a

_k

Γ

_k

(i) = 0 (∗)

L'équation pour i = 0 est f (0) − a

0

= 0 , elle détermine a

0

de façon unique.

Pour n ∈ N, supposons (a

0

, . . . , a

n

) déterminé de façon unique par les équations.

Comme Γ

n+1

(n + 1) = 1 , l'équation pour i = n + 1 donne a

n+1

= f (n + 1) −

n

X

k=0

a

k

Γ

k

(n + 1)

Ce qui détermine un et un seul a

n+1

. On montre ainsi par récurrence qu'il existe une unique suite (a

k

)

_k∈N

de nombres réels vériant (∗) .

2. Pour n ∈ N et i ∈ J 0, n K, b

ⁱ

−

n

X

k=0

(b − 1)

^k

Γ

k

(i) = b

ⁱ

−

i

X

k=0

(b − 1)

^k

i

k

= 0 La suite ((b − 1)

ⁿ

)

_n∈

N

est donc associée à la fonction x → b

^x

.

3. a. La fonction ϕ est C

^∞

sur I et s'annule en i ∈ J 0, n K. En appliquant le théorème de Rolle sur les intervalles [i, i + 1] pour i ∈ J 0, n − 1 K, on montre que ϕ

⁰

s'annule en au moins n − 1 points x

₁

< · · · < x

_n−1

avec i < x

_i

< i + 1 . On applique ensuite le théorème de Rolle à ϕ

⁰

sur les intervalles [x

i

, x

i+1

] pour i ∈ J 0, n − 2 K, . . .Par récurrence on montre que ϕ

^(k)

s'annule en au moins n + 1 − k réels positifs distincts.

b. D'après la question précédente ϕ

⁽ⁿ⁾

s'annule en au moins un réel positif, notons le λ

n

. Or ϕ

⁽ⁿ⁾

= f

⁽ⁿ⁾

− a

n

, on en déduit que a

n

= f

⁽ⁿ⁾

(λ

n

) .

Partie III. Un exemple.

1. On considère les équations caractérisant la suite (a

n

) . On considère f (0) − a

0

= 0 on en déduit

a

0

= 1

λ

Puis, f(1) − a

0

− a

1

= 0 , donc a

1

= 1

1 + λ − 1

λ = −1 λ(λ + 1) Enn f (2) − a

0

− 2a

1

− a

2

= 0 , d'où

a

2

= 2

λ(λ + 1)(λ + 2)

2. La fonction x 7→ (x+λ)r

_n

(x) est polynomiale de degré n + 1 et s'annule en 0, · · · , n par dénition de r

_n

. D'après son degré, on a donc trouvé toutes les racines du polynôme x 7→ (x + λ)r

_n

(x) et elles sont toutes simples. D'autre part, le coecient dominant de x 7→ (x + λ)r

_n

(x) est −

^a_n!ⁿ

. D'où

∀x ∈ I, (x + λ)r

n

(x) = − a

_n

n! x(x − 1) . . . (x − n) et donc

∀x ∈ I, r

n

(x) = −(n + 1)a

n

Γ

_n+1

(x) x + λ

a. En évaluant l'égalité précédente en x = n + 1 , on trouve (n + 1 + λ)r

_n

(n + 1) =

−(n + 1)a

_n

.

D'autre part, par dénition des r

_k

, on a

r

_n+1

= r

_n

− a

_n+1

Γ

_n+1

en évaluant l'égalité en x = n + 1 , on trouve a

_n+1

= r

_n

(n + 1) . D'où

∀n ∈ N , (n + 1 + λ)a

_n+1

= −(n + 1)a

_n

b. Montrons le résultat par récurrence sur n .

Pour n = 0 , a

0

=

_λ¹

=

⁻¹_λ

=

_{Γ−1(−λ)}⁻¹

.

Soit n ∈ N, supposons le résultat vrai au rang n . (n + 2)a

n+1)

= (n + 2) −(n + 1)a

n

n + 1 + λ (par la question précédente)

= n + 2

(n + 1 + λ)Γ

n+1

(−λ) (par hypothèse de récurrence)

= −1

Γ

n+2

(−λ) D'où le résultat par récurrence.

3. Soit x > −λ xé. On remarque que r

n

(x) = f (x) − A

n

(x) .

|r

n

(x)| =

Γ

_n+1

(x) Γ

n+1

(−λ)(x + λ)

par 2. et 3b.

∼ K(x)

K(−λ) (n + 1)

^−λ−x

par I4b.

→ 0 car x > −λ Donc la suite (A

n

(x))

_n∈

N

converge vers f (x) .

Partie IV. Une expression du reste.

1. Par construction, la fonction r

_n

s'annule en 0, 1, · · · , n . Par dénition Γ

_n+1

s'annule aussi en ces points. Il en est donc de même pour ψ . De plus, on vérie facilement que ψ(u) aussi est nul. Comme ψ s'annule n + 2 fois, d'après le théorème de Rolle, sa dérivée s'annule n + 1 fois (entre les zéros donc on reste bien dans I ). On montre par récurrence que ψ

^(k)

s'annule n + 2 − k fois pour k entre 0 et n + 1 .

2. Quand on dérive n + 1 fois, on fait disparaitre tous les Γ

_k

de r

_n

. Si v est tel que ψ

⁽ⁿ⁺¹⁾

(v) = 0 , il vérie

0 = f

⁽ⁿ⁺¹⁾

(v) − r

n

(u)

Γ

n+1

(u) Γ

⁽ⁿ⁺¹⁾_n+1

(v)

| {z }

=1

⇒ r

n

(u) = f

⁽ⁿ⁺¹⁾

(v)Γ

n+1

(u)

3. Sous l'hypothèse de cette question :

|r

n

(u)| ≤ M n |Γ

n+1

(u)| ∼ M K(u)n

^−u

d'après l'équivalent trouvé en I.4.b. On en déduit que (r

n

(u))

_n∈

N

converge vers 0 . 4. Une fonction de classe C

^∞

qui s'annule sur tous les entiers et qui n'est pas identique-

ment nulle ne vérie certainement pas cette condition de majoration des ses dérivées.

Partie V. Un autre exemple.

1. Lorsque h = −1 , on peut utiliser la question I.3.b. On en tire : A

_n

(u) =

n

X

k=0

(−1)

^k

Γ

_k

(u) = (−1)

ⁿ

Γ

_n

(u − 1)

La convergence a été discutée en I.4.c.

Si u ≥ 0 , la suite converge vers 0 .

Si u < 0 , la suite diverge, sa valeur absolue tend vers +∞ .

2. a. On a vu en question I.1.b. que la suite des (−1)

ⁿ

Γ

n

(u) est de signe constant dès que n ≥ due . Comme ici h < 0 , il en est de même de la suite des h

ⁿ

Γ

n

(u) . À partir de due , la suite des A

n

(u) est donc monotone.

b. D'après la question II.2., (h

n

)

_n∈N

est la suite associée à la fonction x 7→ (h + 1)

^x

dénie dans I =] − 1, +∞[ . On peut exprimer le reste avec la question IV.2. Pour tout n , il existe un v

n

> −1 tel que

(1 + h)

^u

− A

n

(u) = r

n

(u) = (ln(1 + h))

ⁿ⁺¹

(1 + h)

^vn

Γ

n+1

(u)

car (ln(1+h))

ⁿ⁺¹

(1+h)

^x

est l'expression en x de la dérivée n -ième de x 7→ (h+1)

^x

. L'hypothèse −1 < h < 0 de la question entraîne 0 < 1 + h < 1 donc ln(1 + h) < 0 et (1 + h)

^vn

> 0 . Ainsi, à partir d'un certain rang, r

n

(u) est de signe constant et ce signe est le même que celui de la suite des h

ⁿ

Γ

n

(u) .

Si r

_n

(u) et h

ⁿ

Γ

_n

(u) sont positifs. À partir de due , la suite des A

_n

(u) est crois- sante et

(1 + h)

^u

− A

_n

(u) ≥ 0 ⇒ A

_n

(u) ≤ (1 + h)

^u

La suite est donc majorée, elle converge.

Dans le cas négatif, la suite est décroissante et minorée, elle converge encore.

c. Lorsque

¹_e

− 1 ≤ h < 0 , d'après la question I.1., la suite (ln(1 + h))

ⁿ⁺¹

n∈N

est bornée. La suite ((1 + h)

^vn

)

_n∈N

l'est aussi car

¹_e

≤ 1 + h < 1 . La suite (Γ

n

(u))

_n∈N

converge vers 0 d'après I.4.c. On en déduit que la suite des restes converge vers 0 c'est à dire que la limite g(u) = (1 + h)

^u

.

3. a. Dans cette situation, les h

ⁿ

Γ

n

(u) changent de signe à chaque fois tout en décrois- sant en valeur absolue (à partir d'un certain rang). Les suites extraites d'indices pairs et impairs sont alors adjacentes.

b. La suite complète converge vers leur limite commune car les indices pairs et impairs recouvrent tout N.

c. L'expression du reste de la question 2.b. reste valable

(1 + h)

^u

− A

n

(u) = r

n

(u) = (ln(1 + h))

ⁿ⁺¹

(1 + h)

^vn

Γ

n+1

(u) Cette fois, seul le facteur en Γ change de signe.

Si Γ

n+1

(u) > 0 . Alors A

n

(u) < A

n+1

(u) et A

n

(u) < (1 + h)

^u

.

De plus, (1 + h)

^u

− A

n+1

(u) est du signe de A

n+2

(u) c'est à dire négatif d'où A

n

(u) < (1 + h)

^u

< A

n+1

(u)

Le raisonnement est analogue dans l'autre cas.

Par passage à la limite dans l'encadrement, on obtient g(u) = (1 + h)

^u

.

4. a. Comme la suite des Γ

n

(u) = A

n

(u) − A

n−1

(u) diverge lorsque u ≤ −1 , la suite des A

n

(u) diverge aussi.

b. Pour h = 1 , l'étude faite en 3. reste valable et la suite converge vers (1 + h)

^u

= 2

^u

.