TS -
Lycée Desfontaines
Qu’est-ce qu’une fonction rationnelle ?
Définition :
On appelle fonction rationnelle toute fonction R qui peut s’écrire sous la forme : R : x 7−→ P (x)
Q(x) où P et Q sont des polynômes, Q n’étant pas le polynôme nul.
L’ensemble de définition de R est {x ∈
R/ Q(x) 6= 0} =
R\ {valeur(s) interdite(s)}
Exemples :
•Soitfla fonction définie parf(x) =x2+ 2x+ 5 x+ 1
f est une fonction rationnelle dont l’ensemble de définition est :Df ={x∈R/ x−16= 0}=R\ {1}.
•Soitgla fonction définie parg(x) = −5x3+ 2x−7 3x2+ 4x−15
gest une fonction rationnelle dont l’ensemble de définition est :Dg={x∈R/3x2+ 4x−156= 0}.
Posons alorsQ(x) = 3x2+ 4x−15.
Son discriminant est∆ = 42−4×3×(−15) = 196 = 142>0doncQadmet deux racines réelles : x1=−4−14
6 =−3etx2=−4 + 14
6 = 5
3. D’oùDg={x∈R/ x6=−3etx6=5
3}=R\ {−3;5 3}.
•Soithla fonction définie parg(x) =−7x4+ 2x3−1 x2+ 4x+ 5
hest une fonction rationnelle dont l’ensemble de définition est :Dh={x∈R/ x2+ 4x+ 56= 0}.
Posons alorsQ(x) =x2+ 4x+ 5.
Son discriminant est∆ = 42−4×1×5<0doncQn’admet pas de racine réelle.
D’oùDh=R