Exerie 4 (2 pts/10) Leprofesseur Cosinus penseavoiréritune preuve dansLK: P(x)⊢P(x) ax P(x), Q(x)⊢P(x)affg P(x)∧Q(x)⊢P(x)∧g P(x)∧Q(x)⊢ ∀xP(x)∀d ∀x(P(x)∧Q(x

Masterd'Informatique 1,2009/2010

LOGIQUE, INF 462

Examen du 18/12/2009

Sujetde M. Sénizergues;tousdouments autorisés;duréeonseillée :1h30.

Les 4exeries sont indépendants.

Exerie 4 (2 pts/10)

Leprofesseur Cosinus penseavoiréritune preuve dansLK^: P(x)⊢P(x)

ax

P(x), Q(x)⊢P(x)^affg P(x)∧Q(x)⊢P(x)^∧g P(x)∧Q(x)⊢ ∀xP(x)^∀d

∀x(P(x)∧Q(x))⊢ ∀xP(x)^∀g

Q(x)⊢Q(x)

ax

P(x), Q(x)⊢Q(x)^affg P(x)∧Q(x)⊢Q(x)^∧g

∀x(P(x)∧Q(x))⊢Q(x)^∀g

∀x(P(x)∧Q(x))⊢ ∀xQ(x)^∀d

∀x(P(x)∧Q(x))⊢(∀xP(x))∧(∀xQ(x)) ^∧d

1-Critiquer haque étape delapreuve deCosinus.

2-Le séquent ∀x(P(x)∧Q(x))⊢(∀xP(x))∧(∀xQ(x))^{est-il prouvable dans}LK^?

Exerie 5 (2,5pts /10)

Pour haun desséquentsSi ^suivants( 1≤i≤3^{), déterminer si}Si ^{estprouvabledans}LJ^.

S1 : ⊢(¬A∨B)→(¬¬B∨ ¬A) S2 : ⊢(¬¬B∨ ¬A)→(¬A∨B) S3 : ¬∀xR(x)⊢ ∃x¬R(x).

Aide :pour traiter S3 ^{on pourra onstruire une struture de Kripke possédant deux noeuds}

0≤1^ettelleque D(0) ={a}, D(1) ={a, b}^.

Exerie 6 (3 pts/10)

Ononsidèrel'ensemble d'entiersE :={2x+ 3y |x∈N, y∈N}^.

1- Vérier que 0 ∈ E,1 ∈ N−E,2 ∈ E,3 ∈ E,4 ∈ E,5 ∈ E^{. Montrer que} N−E ^{est un}

ensemble ni(quel'on alulera).

Onrappelle quel'appliation ν :{0,1}^∗ → N assoie à tout mot u ∈ {0,1}^{∗ le nombre qu'il}

représentei.e.ν(u[ℓ−1]·u[k]. . . u[0]) =Pℓ−1

k=02^ku[k]^pour ℓ≥1 ^etν(ε) = 0^.

2-Construire un automateniA^,quireonnait {u∈ {0,1}^∗ |ν(u)∈E}.

(bienpréiser sietautomate fontionne dedroite àgauhe oude gauhe à droite).

3-Construire un automateniB^{,qui reonnait}{0,1}^∗−L(A)^.

Lelangage L(B) ^{est-il ni?lelangage} L(B)∩(1· {0,1}^∗ ∪ {ε}) ^{est-il ni?}

On onsidèremaintenant l'ensembled'entiers

E^′ :={31x+ 52y|x∈N, y∈N}.

3-Commentpeut-ononstruire,enprinipe,unautomateniA^{′,quireonnait}{u∈ {0,1}^∗ | ν(u)∈E^′}?

N.B.Onnedemande pasde onstruire expliitement et automateA^′.

4- On se demande si E^{′ est} presqu'égal à N i.e. si N−E^{′ est un ensemble ni. Comment}

peut-on résoudree problèmeen utilisant l'automateA^′?

5-Peut-onexprimerlefaitqueN−E^{′ estunensemblenipar uneformuledupremierordre}

surlasignature{+,=}^?

Exerie 7 (2,5pts /10)

On onsidère l'ensemble EG desaxiomes de l'égalité surune signature omprenant un sym-

bolede fontion binaire∗ ^{etlesymbole d'égalité :}

REF :∀x x=x

SYM:∀x, y (x=y→y=x)

TRANS:∀x, y, z (x=y∧y=z)→x=z)

COMPF:∀x1, x2, y1, y2 (x1 =x2∧y1 =y2)→(x1∗y1 =x2∗y2)

Onrappellequel'ensembleMOdesaxiomesdesmonoïdesestl'uniondel'ensembledesquatre

axiomesdeEG (i-dessus)ave les deuxaxiomes:

ASS:∀x, y, z x∗(y∗z) = (x∗y)∗z

NE:∀x (x∗e=x ∧ e∗x=x)

iie^{estuneonstanted'arité}0^{;l'axiomeNEexprimeque}e^{estunélémentneutrepourlaloi}∗^.

OnseplaesurlasignatureS :h{=};{∗, a, b, c, d, e}i^{oùlessymboles}a, b, c, d^{sontdessymboles}

de onstanteset=,∗, e ^{sont lessymboles mentionnésplus haut.}

1-Prouver,enutilisantlasyntaxeusuelledespreuvesmathématiques,quedanstoutmonoïde

on a :

(a∗(b∗c))∗d= (a∗b)∗(c∗d)

Justierhaque étapede ette preuve par un axiomede MO.

2-Donner une preuve dansLJ^{de :}

MO⊢(a∗(b∗c))∗d= (a∗b)∗(c∗d)

Aide:ilsut de formaliserlapreuve informelledonnéeà laquestion 1.