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Si P v´erifie ½ 0∈P ∀x∈N, x∈P =⇒s(x)∈P Alors P =N

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(1)

Chapitre III

Construction des ensembles de nombres N, Z et Q

1 Construction de N

Dans cette section nous allons voir comment on peut ´etablir les propri´et´es essentielles deN`a partir des axiomes introduits en 1889 par le math´ematicien Italien Giuseppe Peano (1858-1932).

Axiomes de Peano - Il existe un ensemble N, une application s de N dans N et un

´el´ement (not´e0) de N tels que :

(i) ∀xN,∀yN, s(x) =s(y) =x=y, (ii) 06∈s(N),

(iii) (Axiome d’induction) Soit P N. Si P v´erifie

½ 0P

∀xN, xP =s(x)P Alors P =N.

efinitions - L’images(x) d’un entierx par l’applicationsest appel´ee lesuccesseur de x, ets est appel´ee l’application successeur.

Le symbole 1 d´esignera le nombre s(0).

Remarques -L’axiome (i) signifie que l’applicationsest injective et l’axiome (ii) exprime que 0 n’est le successeur d’aucun entier. Quant `a l’axiome (iii), il traduit le principe de r´ecurrence.

Un outil essentiel des d´emonstrations qui vont suivre est l’usage de suites d´efinies par une relation de r´ecurrence. Le th´eor`eme suivant garantit la pertinence de leur d´efinition.

Th´eor`eme 1.1 SoientE un ensemble non vide,f une application deE dansE etaE.

Il existe une unique suiteu : N−→E v´erifiant les deux conditions

½ u(0) =a

∀nN, u(s(n)) =f(u(n)). 47

(2)

Remarque - Pour les besoins des r´edactions de cette section, on utilise ici la notation u(n) au lieu deun pour le terme de rang nde la suite : il est consid´er´e comme l’image de l’´el´ement nde Npar l’application u.

Preuve -L’existence de la suiteuest admise (la d´emonstration n’est pas tr`es difficile mais fait appel `a la caract´erisation des applications comme graphes de relations binaires, non rappel´ee dans ce cours).

On ´etablit donc seulement l’unicit´e. Soient deux suites uetu0 satisfaisant

½ u(0) =a

∀nN, u(s(n)) =f(u(n)) et

½ u0(0) =a

∀nN, u0(s(n)) =f(u0(n)). Posons P = {n N / u(n) = u0(n)}. Cet ensemble v´erifie P N et 0 P (puisque u(0) =u0(0) =a).

De plus si nP, on a

u(s(n)) =f(u(n)) =f(u0(n)) =u0(s(n)),

de sorte que s(n) P. On peut donc conclure grˆace `a l’axiome (iii) que P = N. Ainsi

pour toutnN,u(n) =u0(n), c’est-`a-direu=u0. 2

1.1 Construction de l’addition Th´eor`eme 1.2 Il existe une application σ :

µ N×N N (k, n) 7→ k+n

(appel´ee addition) v´erifiant :

(1) ∀kN,∀mN,∀nN, (k+m) +n=k+ (m+n) (l’addition est associative) (2) ∀kN,∀nN, k+n=n+k (l’addition est commutative)

(3) ∀kN, k+ 0 = 0 +k=k (0 est ´el´ement neutre)

(4) ∀kN, k+ 1 =s(k)

Preuve - Pour d´efinir l’application σ, on fixe un entier k et on applique le Th´eor`eme 1.1 avec E=N,f =seta=k.

Il existe donc une unique application sk : N−→N telle que

(?) sk(0) =k et (??) ∀nN sk(s(n)) =s(sk(n)).

Cette construction ´etant valable pour toutkN, on peut poser pour tout (k, n)N×N: k+n=sk(n).

On d´emontre d’abord la propri´et´e (4) en ´ecrivant pour kentier quelconque, k+ 1 =sk(1) =sk(s(0)) =s(sk(0)) =s(k).

On d´emontre ensuite la propri´et´e (3).

On a d’une part pour tout kNla relationsk(0) =k, c’est-`a-dire k+ 0 =k.

D’autre part, consid´erons l’ensemble P = {n N/ s0(n) = n}. On a 0 P puisque s0(0) = 0. De plus, si nP,nv´erifie la relation s0(n) =n. On en tire grˆace `a (??) :

s0(s(n)) =s(s0(n)) =s(n),

(3)

1. CONSTRUCTION DEN 49 de sorte ques(n)P. Par application de l’axiome (iii), il vient P =N, c’est-`a-dire

∀kN, 0 +k=k .

Finalement la propri´et´e (3) est valide : 0 est ´el´ement neutre pour l’addition.

On ´etablit ensuite la propri´et´e (1). Pour cela on pose

P ={nN/∀kN, ∀mN, (k+m) +n=k+ (m+n)}. L’entier 0 appartient `a P, puisque pour tout kNet tout mN, on a d’apr`es (3)

(k+m) + 0 =k+m=k+ (m+ 0).

SoitnP. En remarquant que (k+m)+n=k+(m+n) peut s’´ecriresk+m(n) =sk(m+n), on peut ´ecrire

(k+m) +s(n) = sk+m(s(n)) (par d´efinition deσ)

= s(sk+m(n)) (d’apr`es (??))

= s(sk(m+n)) (par la remarque ci-dessus)

= sk(s(m+n)) (d’apr`es (??))

= sk(s(sm(n))) (par d´efinition deσ)

= sk(sm(s(n))) (d’apr`es (??))

= k+ (m+s(n)) (par d´efinition deσ).

Cela montre qu’alors s(n) P. L’axiome (iii) permet encore de conclure que P = N, c’est-`a-dire que (1) est satisfaite : l’addition est associative .

On ne d´etaillera pas la preuve de la propri´et´e (2). Signalons seulement qu’elle r´esulte aussi de l’axiome (iii). On applique d’abord cet axiome `a

P ={nN/∀mN, s(m+n) =s(m) +n}

pour v´erifier que

∀mN, ∀nN, s(m+n) =s(m) +n . Puis on l’applique `a

P0 ={nN/∀kN, k+n=n+k}

pour obtenir (2). 2

1.2 Construction de la multiplication Th´eor`eme 1.3 Il existe une application π :

µ N×N N (k, n) 7→ k.n

(appel´ee multiplica- tion) v´erifiant :

(1) ∀kN,∀mN,∀nN, (k.m).n=k.(m.n) (la multiplication est associative) (2) ∀kN,∀nN, k.n=n.k (la multiplication est commutative) (3) ∀kN, k.1 = 1.k=k (1 est ´el´ement neutre)

(4) ∀kN,∀mN,∀nN, k.(m+n) =k.m+k.n (la multiplication est distributive (m+n).k=m.k+n.k par rapport `a l’addition)

(5) ∀nN, n.0 = 0.n= 0 (0 est ´el´ement absorbant)

(4)

Preuve - La preuve repose sur des arguments analogues `a ceux utilis´es pour d´emontrer le th´eor`eme 1.2.

Pour d´efinir l’application π, on fixe un entier k et on applique le Th´eor`eme 1.1 avec E =N,f =sk eta= 0.

Il existe donc une unique application pk : N−→Ntelle que

(∗) pk(0) = 0 et (∗∗) ∀nN, pk(s(n)) =pk(n) +k .

Cette construction ´etant valable pour toutkN, on pose ensuite pour tout (k, n)N×N: k.n=pk(n).

Les propri´et´es (1) `a (5) s’obtiennent ensuite en appliquant l’axiome (iii) `a des ensembles

P convenablement choisis. 2

1.3 Construction de la relation d’ordre

Le but est de retrouver la relation d’ordre usuelle sur les entiers naturels (not´ee ≤), en la d´efinissant `a partir des notions introduites pr´ec´edemment.

On peut le faire par exemple en disant que pour netp entiers,

np ⇐⇒ ∃kN, p=n+k . (1)

On ´etablit ensuite les propri´et´es suivantes, en faisant un large usage de l’axiome d’induc- tion (iii) (nous ne d´etaillerons pas les preuves ici).

Th´eor`eme 1.4 a) La relation d´efinie par (1) est une relation d’ordre : elle est

r´eflexive : ∀nN, nn,

anti-sym´etrique : ∀nN,∀pN, (np)(pn) =(n=p), transitive : ∀nN,∀pN,∀qN, (np)(pq) =(nq).

b) C’est une relation d’ordre total: ∀nN,∀pN, (np)(pn).

c) Elle est compatible avec l’addition et la multiplication :

∀nN,∀pN,∀qN np=n+q p+q ,

∀nN,∀pN,∀qN np=n.qp.q . d) Toute partie non vide de N admet un plus petit ´el´ement.

On montre de plus que lorsque n p, l’entier k figurant dans (1) est unique. On l’appelle ladiff´erence dep etnet on note k=pn.

1.4 Diff´erentes formulations du principe de r´ecurrence

Soit Hn une propri´et´e d´ependant de l’entiern. On peut lui associer le sous-ensemble P de Nd´efini par

P ={nN/Hn est vraie}.

L’axiome d’induction (le troisi`eme axiome de Peano) prend alors la forme du th´eor`eme suivant.

(5)

2. RELATIONS D’ ´EQUIVALENCES 51 Th´eor`eme 1.5 - Principe de r´ecurrence (faible) -Supposons qu’une propri´et´eHn (d´ependant de nN) v´erifie :

(1) - il existe n0 N tel que Hn0 est vraie,

(2) - pour tout nN tel quenn0, on aHn=⇒ Hn+1. Alors la propri´et´e Hn est vraie pour tout entier naturel nn0.

Preuve - Soit P ={kN/Hn0+k est vraie}. On a P Net 0P (d’apr`es (1)).

Par ailleurs, si k P, l’entier n = n0+k v´erifie n n0 et Hn est vraie. Il r´esulte de (2) que Hn+1 est vraie ´egalement, c’est-`a-dire (puisque (n0+k) + 1 =n0+ (k+ 1)), k+ 1P.

Finalement l’axiome d’induction permet d’affirmer que P = N, et donc que Hn est vraie pour tout nn0 (puisquenn0 si et seulement sin=n0+k avec kN). 2 Remarques - Dans un raisonnement par r´ecurrence, la propri´et´eHnest appel´ee l’hypoth`ese de r´ecurrence, la preuve de (1) est appel´ee l’initialisation du raisonnement et on traduit la propri´et´e (2) en disant que Hn est h´er´editaire.

On d´eduit de ce th´eor`eme les trois corollaires suivants (d´emontr´es en TD).

Corollaire 1.6 - Principe de r´ecurrence (forte) - Supposons qu’une propri´et´eHn (d´ependant de nN) v´erifie :

(1) - il existe n0 N tel que Hn0 est vraie,

(2) - pour tout nN tel quenn0, on a(Hn0 ∧ · · · ∧ Hn) =⇒ Hn+1. Alors la propri´et´e Hn est vraie pour tout entier naturel nn0.

Corollaire 1.7 - Principe de r´ecurrence (`a deux termes) - Supposons qu’une propri´et´eHn (d´ependant denN) v´erifie :

(1) - il existe n0 N tel que Hn0 et Hn0+1 sont vraies,

(2) - pour tout nN tel quenn0+ 1, on a(Hn−1∧ Hn) =⇒ Hn+1. Alors la propri´et´e Hn est vraie pour tout entier naturel nn0.

Corollaire 1.8 - Principe de r´ecurrence (finie) - Supposons qu’une propri´et´e Hn (d´ependant de nN) v´erifie :

(1) - il existe n0 N tel que Hn0est vraie,

(2) - il existe un entier N > n0 tel que : ∀n∈ {n0, . . . , N1}, Hn=⇒ Hn+1. Alors la propri´et´e Hn est vraie pour tout entier naturel n∈ {n0, . . . , N}.

2 Relations d’´equivalences

2.1 efinition

efinitions - a) Un ensemble E ´etant donn´e, une relation binaire R sur E ×E est appel´ee une relation d’´equivalencesi et seulement si elle est

r´eflexive : ∀xE, xRx,

sym´etrique : ∀xE,∀yE, xRy=yRx,

transitive : ∀xE,∀yE,∀zE, (xRy)(yRz) =(xRz).

b) SoientR une relation d’´equivalence sur un ensembleE etxE. On appelle classe d’´equivalence de xsuivant Rl’ensemble CR(x) ={yE / xRy}.

(6)

On appelle ensemble quotientde E pour la relationR l’ensemble de toutes les classes d’´equivalences d’´el´ements de E selonR. On le note E/R. Ainsi

E/R={CR(x), xE}. C’est un sous-ensemble de l’ensembleP(E) des parties de E.

Exemple - Dans l’ensembleN, la relation d´efinie par«nRpsi et seulement sina mˆeme reste que p dans la division par 2» est une relation d’´equivalence. Il y a deux classes d’´equivalences : l’ensemble des entiers pairs (qui constitue la classe de 0) et l’ensemble des entiers impairs (qui constitue la classe de 1). AinsiE/R={CR(0), CR(1)}.

Proposition 2.1 ∀xE, ∀yCR(x), CR(y) =CR(x). Preuve - Soit yCR(x), autrement dit xRy.

Si z CR(y), alors yRz d’o`u par transitivit´e, xRz c’est-`a-dire z CR(x). Ainsi CR(y)CR(x). On montre de mˆeme l’inclusion inverse. 2 2.2 Lien avec les partitions d’un ensemble

efinition - SoitF un sous-ensemble deP(E). On dit queF est unepartitionde E s’il v´erifie :

(1) ∀F ∈ F, F 6=∅,

(2) ∀F ∈ F,∀G∈ F, F 6=G=FG=∅,

(3) [

F∈F

F =E.

Th´eor`eme 2.2 SoitRune relation d’´equivalence sur un ensembleE. L’ensemble quotient E/R est une partition de E.

Preuve - (1) Pour F E/R, il existe xE tel que F =CR(x). OrR´etant r´eflexive, on a xCR(x). Ainsi F 6=∅.

(2) SoientF etGdeux ´el´ements deE/R. Il existexE etyE tels queF =CR(x) et G = CR(y). On raisonne par contraposition. Si F G 6= ∅, il existe z F G. On d´eduit de la proposition 2.1 que CR(x) =CR(z) =CR(y) soit F =G.

(3) Pour tout xE, on aCR(x)E, de sorte que [

x∈E

CR(x)E. Par ailleurs, on a pour toutx0 E,x0 CR(x0) d’o`ux0 [

x∈E

CR(x) et finalement E [

x∈E

CR(x). 2 Th´eor`eme 2.3 Soit F une partition d’un ensemble E. Il existe une unique relation d’´equivalence surE telle que F =E/R.

Preuve - Si une telle relation Rexiste, elle doit n´ecessairement v´erifier

∀xE,∀y E, xRy⇐⇒(∃F ∈ F, xF etyF).

Ceci d´etermine Rde mani`ere unique.

Reste `a voir que la relation ainsi d´efinie est bien une relation d’´equivalence, et que l’on a bienE/R=F.

(7)

3. CONSTRUCTION DEZ 53 La r´eflexivit´e d´ecoule de (3) : xE donc il existe F ∈ F tel quexF. Alors xRx.

La sym´etrie provient du fait que xF etyF si et seulement siyF et xF. La transitivit´e s’obtient grˆace `a (2). En effet, sixRyetyRz, il existe d’une partF ∈ F tel quexF etyF, et d’autre part G∈ F tel quey GetzG. CommeyFG il vientF =G, de sorte quexF etzF. Mais alors xRz.

Pour montrer queF =E/R, on remarque d’abord que pour toutF ∈ F et toutxF, on aF =CR(x). En effet d’une part la relationyF entraˆıne quexRy, et doncy ∈ CR(x).

D’autre part, la relationy∈ CR(x) entraˆınexRy, c’est-`a-dire qu’il existeG∈ F tel quex ety soient tous deux dansG. Mais alors F G6=∅, d’o`uF =G. AinsiyF.

On en d´eduit d’abord que F ⊂E/R : car si F ∈ F, on sait que F 6=∅. Consid´erant xF, on obtient F =CR(x) et doncF E/R.

On v´erifie ensuite queE/R ⊂ F : siGE/R, il existe xE tel que G=CR(x). Par ailleurs, il existe F ∈ F tel quexF. On en tire F =CR(x) =G, de sorte que G∈ F.2

3 Construction de Z

3.1 Introduction

Si un ensemble E est muni d’une loi interne associative :

∀xE,∀yE,∀zE, (xy)z=x(yz), admettant un ´el´ement neutre e:

∀xE, xe=ex=x , et telle que tout ´el´ement admette un sym´etrique pour cette loi :

∀xE,∃x0E, xx0=x0x=e ,

on dit que (E,∗) est ungroupe. Le groupe est ditcommutatiflorsque la loi est commu- tative :

∀xE,∀yE, xy =yx .

Une propri´et´e importante est que dans un groupe, tout ´el´ement est r´egulier, c’est-`a-dire que tout ´el´ementx v´erifie :

½ ∀y E,∀zE, xy=xz = y=z

∀y E,∀zE, yx=zx = y=z

Cette propri´et´e est importante car elle permet d’effectuer des simplifications lorsqu’on r´esout des ´equations. On la prouve en utilisant l’existence de l’´el´ement sym´etrique x0 de x : on ´ecrit par exemple

x∗y=x∗z=x0∗(x∗y) = (x0∗x)∗z=(x0∗x)∗y= (x0∗x)∗z=e∗y =e∗z=y=z . Revenons `a l’ensemble des entiers naturels. L’addition dansNest associative et admet 0 pour ´el´ement neutre. Mais (N,+) n’est pas un groupe, car 0 est le seul ´el´ement admettant un ´el´ement sym´etrique (on a vu en TD que ∀(n, p)N×N, n+p= 0 =n=p= 0).

Cependant, on a la proposition suivante.

(8)

Proposition 3.1 Tout ´el´ement de N est r´egulier pour l’addition.

Preuve - On raisonne par r´ecurrence. En effet il s’agit de montrer (compte tenu de la commutativit´e de l’addition) que pour tout entiern, la propri´et´e

Hn : ∀pN,∀q N, p+n=q+n = p=q est vraie.

• H0 est vraie du fait que 0 est ´el´ement neutre.

Supposons que Hn soit vraie pour un certain nN. Montrons queHn+1 est vraie.

Consid´erons deux entierspetqtels que p+ (n+ 1) =q+ (n+ 1). On tire de l’associativit´e de l’addition que (n+p) + 1 = (n+q) + 1 c’est-`a-dire s(n+p) =s(n+q) (o`u sd´esigne l’application «successeur»). Comme l’application s est injective, on a n´ecessairement n+p=n+q. On peut alors conclure grˆace `a Hn quep=q. On a ainsi ´etabli queHn+1 est vraie.

Finalement, le principe de r´ecurrence permet de conclure : Hn est vraie pour tout

nN. 2

On cherche `a construire un ensemble Z N, muni d’une loi interne qui en fasse un groupe, et qui co¨ıncide avec l’addition lorsqu’on l’applique `a des entiers naturels.

La construction va utiliser la remarque suivante.

Si n,p sont deux entiers naturels, on a vu que la diff´erencenp (c’est-`a-dire l’entier ktel que n=p+k) est d´efinie seulement dans le cas o`upn.

De plus, lorsque pnetp0n0, on a l’´equivalence suivante : np=n0p0 ⇐⇒ n+p0 =n0+p . En effet, notonsk=np.

Si np=n0p0, alorsn0 =p0+k et doncn+p0 =p+k+p0=p+n0.

R´eciproquement, si n+p0 = n0+p, on peut ´ecrire p+k+p0 = n0 +p, c’est-`a-dire (p0+k) +p=n0+p: par usage de la proposition 3.1 (pest r´egulier), on obtientn0 =p0+k, soitn0p0 =np..

On remarque cependant que, contrairement au membre de gauche qui ne peut prendre de sens que pourpnetp0n0, le membre de droite a un sens quelque soit l’ordre des entiersp,n(etp0,n0).

3.2 efinition de Z

On d´efinit sur N2=N×Nla relationRpar

∀(n, p)N2,∀(n0, p0)N2, (n, p)R(n0, p0) ⇐⇒ n+p0 =n0+p . Proposition 3.2 La relation Rest une relation d’´equivalence sur N2.

Preuve - Le r´eflexivit´e et la sym´etrie sont imm´ediates. V´erifions la transitivit´e.

Soient (n, p), (n0, p0) et (n00, p00) trois ´el´ements de N2 tels que (n, p) R (n0, p0) et (n0, p0)R(n00, p00). On a alors

n+p0 =n0+p et n0+p00=n00+p0,

(9)

3. CONSTRUCTION DEZ 55 d’o`u en ajoutant membre `a membre, n+p00 + (n0 +p0) = n00+p+ (n0 +p0). Comme n0+p0 est r´egulier pour l’addition (proposition 3.1), on en tiren+p00=n00+p, c’est-`a-dire

(n, p)R(n00, p00). 2

efinition -L’ensemble quotientN2/Rest not´eZet ses ´el´ements sont appel´es lesentiers relatifs.

Exemples - Le couple d’entiers naturels (1,4) d´efinit l’entier relatif CR((1,4)) ={(0,3),(1,4),(2,5), . . .}={(k, k+ 3), k N}, et le couple (0,0) d´efinit l’entier relatif CR((0,0)) ={{(k, k), k N}.

3.3 Addition dans Z

On commence par d´efinir l’addition dansN2, `a partir de celle deN. Pour tous (a, b) et (c, d) dansN2, on pose

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).

Proposition 3.3 L’addition ainsi d´efinie dans N2 est associative, commutative et admet le couple(0,0) pour ´el´ement neutre.

Preuve - Cela d´ecoule directement des propri´et´es de l’addition dans N. 2 Une propri´et´e essentiellepour la suite de la construction est la suivante.

Proposition 3.4 La relation R est compatible avec l’addition dans N2 : si les couples (a, b), (a0, b0),(c, d), (c0, d0) v´erifient (a, b)R(a0, b0) et (c, d)R(c0, d0), alors

[(a, b) + (c, d)]R[(a0, b0) + (c0, d0)].

Preuve - Si (a, b)R(a0, b0) et (c, d)R(c0, d0), on a a+b0 = a0+b et c+d0 = c0 +d. En ajoutant membre `a membre ces deux ´egalit´es, on obtient :

(a+c) + (b0+d0) = (a0+c0) + (b+d),

c’est-`a-dire (a+c, b+d)R(a0+c0, b0+d0). 2

Cela signifie que si on fixe deux entiers relatifsnetpdansZ, on peut choisir n’importe quel repr´esentant (a, b) N2 de n (c’est-`a-dire n’importe quel couple d’entiers naturels (a, b) tel quen=CR((a, b))) et n’importe quel repr´esentant (c, d) de p(c’est-`a-dire n’im- porte quel couple (c, d) tel que n=CR((c, d))), la somme (a+c, b+d) d´efinira toujours lamˆemeclasse d’´equivalence CR((a+c, b+d)).

Il est alors possible de d´efinir l’addition de deux entiers relatifs de la fa¸con suivante.

efinition - Soient n,p deux entiers relatifs et (a, b), (c, d) des repr´esentants respectifs de netp. On pose

n+p=CR((a+c, b+d)).

Proposition 3.5 L’addition ainsi d´efinie dans Z est commutative, associative et admet la classe CR((0,0)) pour ´el´ement neutre. De plus, tout entier relatif admet un ´el´ement sym´etrique pour l’addition (qu’on appelle son oppos´e).

Autrement dit, (Z,+) est un groupe commutatif.

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