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Ecole Sup´erieure De Gestion et D’´economie Num´erique Kol´ea
Le .../03/2020
polynˆomes et Fractions Rationelles S´erie D’exercices
Exercice 1:
1)Soit n ∈N−{0} . D´emontrer que P =xn+1+xn−2xn−1+nx−n est divisible par (x−1).
2)Soit n ∈N, n≥2. On consid`ere le polynˆome P d´efini par P =axn+1+bxn+ 1.
D´eterminer les r´eels a et b pour que P soit divisible par (x−1)2. Sol : a=n et b=−n−1 Exercice 2: Ordrer de multiplicit´e
Calculer l’ordre de multiplicit´e de la racine x0 de P dans les cas suivants : 1) x0 = 1 et P =x4−x3−3x2+ 5x−2, Sol :1) x0 = 1 est de multiplicit´e 3;
2) x0 =i et P =x3−ix2+x−i, Sol :2) x0 = i est de multiplicit´e 2.
Exercice 3:
On consid`ere le polynˆome P =x5−2x4+x3+x2−2x+ 1
1) Montrer que 1 est une racine de P et d´eterminer son ordre de multiplicit´e.
2) Factoriser P sur R.Sol: Sol: P = (x−1)2(x+ 1)(x2−x+ 1) 3) Factoriser P sur C. Sol: P=(x-1)2(x+ 1)(x−eiπ3)(x−ei5π3 ) Exercice 4:
Soit le polynˆome P =X5−3X4+ 4X3−4X2+ 3X−1 de R[X]
Montrer que 1 est une racine de P et trouver son ordre de multiplicit´e.
En d´eduire une factorisation de P en ´el´ements simples dans C. sol : P = (x2+ 1)(x−1)3 = (x−i)(x+i)(x−1)3
Exercice 5:
Effectuer la division euclidienne de A par B :
A= 3X5+ 4X2+ 1, B =X2+ 2X+ 3; sol: Q= 3x3−6x2+ 3x+ 16;R=−41x−47 A= 3X5+ 2X4−X2+ 1, B =X3+X+ 2 sol: Q= 3x2+ 2x−3;R =−9x2−x+ 7 Exercice 6:
Effectuer la division de A par B suivant les puissances croissantes `a l’ordre 4.
1)A = 1+x2+x4,B = 1+x+x3,Sol:1+x2+x4 = (1+x+x3)(1−x+2x2−3x3+5x4)+x4+1(−7+3x−5x2) 2) A= 1 +ix−x2+ix3, B = 1−ix,sol 2) 1 +ix−x2+ix3 = (1−ix) (
1+2ix-3x2 −2ix3+ 2x4+x4+1(2i) Exercice 7:
D´ecomposer en ´el´ements simples dans R[X] les fractions rationnelles suivantes:
a) (x2x−4) ; b) (x−2)2x+13; c) x3−3xx−12+x−4; d) 3x5+2xx4+x2+12+3x+2; e) 4x
2(1+x2)
(1−x)3(1+x)3
f ) x6−x5x+x5+x4−2x3−x32+x−12−x+2; g) (x−1)2(x12+2x+5);
—————
Sol a) (x2x−4) = 2(x−2)1 + 2(x+2)1 ; b) (x−2)2x+13 = (x−2)2 2+ (x−2)5 3
c)x3−3xx−12+x−4 =x2−2x−1−(x−1)5 d)3x3+ 2x2−3x−1 + 3+6xx2+1
e) (1+x)1 3 −2(1+x)3 2 +2(1+x)1 − (x−1)1 3 − 2(x−1)3 2 − 2(x−1)1 f )x−1 + 6(x−1)1 + 2(1+xx−12)+ 3(x−1−2x2+x+1)
g −16(x−1)1 + 8(x−1)1 2 + 16(x2x+1+2x+5)
Exercice 8:
D´ecomposer en ´el´ements simples dans R[x] puis dans C[x] : a) x31−1;b) x2+2x+2x+1 ;c) (x2−1)(xx2+12+x+1).
Sol
a) 3(x−1)1 + 3(x(−x−2)2+x+1),b) x2+2x+2x+1 = 2(x+1−I)1 +2(x+1+I)1 c)3(x−1)1 +3(x2x+12+x+1) − (x+1)1
