Soit E = R n [X] et u ∈ L (E) tel que u(P ) = (X 2 − 1)P ” + (2X + 1)P ′ . Donner la matrice de u dans la base canonique de R n [X ].

Colle PC Semaine 1 2012-2013

Révisions analyse de PCSI + matrices + développements limités

EXERCICE 1 :

Soit E = R ⁿ [X] et u ∈ L (E) tel que u(P ) = (X ² − 1)P ” + (2X + 1)P ^′ . Donner la matrice de u dans la base canonique de R ⁿ [X ].

Déterminer lim

x→0

1 sin ² x − 1

x ²

EXERCICE 2 :

Montrer que la fonction φ : x 7−→ 1 − cos x

tan ² x , définie au voisinage de 0, sauf en 0, peut être prolongée par continuité en 0, et que la fonction ainsi prolongée admet un développement limité d’ordre 3 en 0 que l’on calculera.

Aide : tan x = x + x ³ 3 + 2x ⁵

15 + o(x ⁶ )

Dans R ³ muni de la base canonique b, on considère l’endomorphisme u dont la matrice est dans b : M=





2 1 0

− 3 − 1 1

1 0 − 1





1. Calculer M ² et M ³ puis (I − M )(I + M + M ² ). Prouver que I − M est inversible et préciser son inverse.

2. Quel est le rang de u ? Quelle est la dimension du noyau de u ?

3. Prouver que, pour tout x / ∈ Ker u ² , les trois vecteurs (x, u(x), u ² (x)) forment une base de R ³ .

EXERCICE 3 :

Déterminer (a, b) ∈ R ² pour que le terme de plus bas degré dans le développement limité de x 7−→ e ^x − 1 + ax 1 + bx au vosinage de 0 soit de degré le plus grand possible.

Soit E l’ensemble des matrices carrées d’ordre n de la forme :

M (a, b) =













a b . . . b b a . .. b .. . . .. ... ...

b . . . b a













où (a, b) ∈ R ²

1. Montrer que E est un R − espace vectoriel et préciser sa dimension.

2. On désigne par K la matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont égaux à 1. Montrer que (I, K ) est une base de E et exprimer dans cette base la matrice M (a, b).

3. Prouver que E est stable par multiplication.

My Maths Space 1 sur 3

Colle PC Semaine 1 2012-2013

Corrections EXERCICE 1 :

M=

























0 1 − 2 . . . 0

0 2 2 . .. .. .

) .. . 0 6 . .. ...

. .. ... ... − n(n − 1)

.. . . .. ... n

0 . . . . . . 0 n(n + 1)























 .

1 sin ² x − 1

x ² = (x − sin x)(x + sin x x ² sin ² x ∼

x→0 x ³

6 .2x x ⁴ = 1

3 .

Une addition inconsidérée d’équivalents conduirait à une absurdité

EXERCICE 2 :

1 − cos x ∼

x→0

x ²

2 et tan ² x ∼

x→0 x ² donc φ(x) −→

x→0

1

2 , on prolonge φ par continuité en posant φ(0) = 1 2 .

• 1 − cos x = 1 −

1 − x ² 2 + x ⁴

24 + o(x ⁵ )

= x ² 1

2 − x ²

24 + o(x ³ )

• tan x = x+ x ³ 3 + 2x ⁵

15 +o(x ⁶ ) donc 1+tan ² x = tan ^′ x = 1+x ² + 2x ⁴

3 +o(x ⁵ ) et donc tan ² x = x ²

1 + 2x ²

3 + o(x ³ )

. On obtient donc :

φ(x) = 1 2 − x ²

24 + o(x ³ ) 1 + 2x ²

3 + o(x ³ )

= 1 2 − 3

8 x ² + o(x ³ ) (on utilise 1

1 + X = 1 − X + o(X ))

1. M ² =





1 1 1

− 2 − 2 − 2

1 1 1



 puis M ³ = 0. On en déduit : (I − M )(I + M + M ² ) = I − M ³ = I et donc I − M est inversible à droite donc inversible et son inverse est I + M + M ² .

2. M est nilpotente donc non inversible et son rang est donc inférieur ou égal à 2. Les deux premières colonnes de M sont linéairement indépendantes, son rang est supérieur ou égal à 2. Ainsi rang u=2 et le théorème du rang permet d’affirmer que la dimension de ker u est 1.

3. x / ∈ Ker u ² , on prouve que les trois vecteurs (x, u(x), u ² (x)) forment une famille libre de R ³ .

Supposons que λx + µu(x) + νu ² (x) = 0, en appliquant successivement u puis u ² à ce vecteur nul, on trouve un système dont la solution est (λ, µ, ν ) = (0, 0, 0) ; la famille est libre donc puisqu’elle est composée de trois vecteurs : c’est une base de R ³ .

EXERCICE 3 :

On obtient assez facilement : e ^x − 1 + ax

1 + bx = (1 − a + b)x + 1

2 + ab − b ²

x ² + o(x ² ) Pour répondre à la question posée, il faut résoudre le système :

( 1 − a + b = 0 1

2 + ab − b ² = 0 qui a pour solution le couple (a; b) =

1 2 ; − 1

2

1. E est un sous-ensemble de M ⁿ (R). Toute matrice M (a, b) de E s’écrit aI + bJ où I est la matrice unité et J dont tous les coefficients sont des 1 sauf ceux de la diagonale qui valent 0.

E est donc l’ensemble des combinaisons linéaires des deux matrices linéairement indépendantes I et J : c’est un R-espace vectoriel de dimension 2.

My Maths Space 2 sur 3

Colle PC Semaine 1 2012-2013

2. On désigne par K la matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont égaux à 1. (I, K) est clairement une famille libre donc une base de E puisque dim E=2. Dans cette base la matrice M (a, b) s’écrit :

M (a, b) = (a − b)I + bK

3. E est stable par multiplication. Prendre M = (a − b)I + bk et M ^′ = (a ^′ − b ^′ )I + b ^′ k, et constater que M M ^′ est de la même forme.

My Maths Space 3 sur 3