1) Factoriser le polynôme x3 − 5 x2 − − 2
23 x
2 5.
2) Donner la dérivée de la fonction réelle f : x → x2sin( x . ) 3) Trouver des entiers a et b tels que a 134 + b 125 = 1.
> restart:
factor(x^3-5/2*x^2-23/2*x-5);
diff(x^2*sin(sqrt(x)),x);
igcdex(134,125,'a','b');a;b;14*134-15*125;
(x − 5 () 2 x + 1 () x + 2) 2
+ 2 xsin( x) 1
2x(3 2 / )cos( x) 1
14 -15
1
Soit (un) la suite définie par la récurrence suivante : u0 = −2 et un + 1 = 2 un + 3 2n. Donner le terme général un de cette suite en fonction de n.
> restart:rsolve({u(n+1)=2*u(n)+3/(2^n),u(0)=-2},u(n));
−2
1 2
n
Donner la liste des nombres à 4 chiffres qui sont égaux à la somme des puissances quatrièmes de leurs chiffres.
Par exemple, 2482 ne convient pas car 2482 est différent de 24 + + + 44 84 24.
> restart:
2^4+4^4+8^4+2^4;
L:=NULL:
for a from 1 to 9 do for b from 0 to 9 do for c from 0 to 9 do for d from 0 to 9 do
if 1000*a+100*b+10*c+d=a^4+b^4+c^4+d^4 then L:=L,1000*a+100*b+10*c+d
fi:od:od:od:od:
L;
4384
, ,
1634 8208 9474 Soient les fonctions réelles
:=
x t → tln t et := ( ) y t → t2ln t . ( )
1) Donner un tableau de variations complet (ensemble de définition, variations et limites) de la courbe paramétrée des points de coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)) pour t réel..
2) Etudier le comportement asymptotique de la courbe paramétrée lorsque t tend vers 1 par valeurs supérieures.
3) Donner la tangente (une équation) à la courbe paramétrée lorsque t vaut 2.
> x:=t->t*ln(abs(t));y:=t->t^2*ln(abs(t));
:=
x t → tln t( ) :=
y t → t2ln t( )
> plot({[x(t),y(t),t=-1.4..-.01],[x(t),y(t),t=.01...1.4]});
> #la courbe est smétrique par rapport à l'axe des ordonnées (en changeant t en -t, on change x(t) et -x(t) sans changer y(t)) et on restreint donc l'intervalle d'étude à ]0,infinity[
> limit(x(t),t=0);limit(y(t),t=0);limit(y(t)/x(t),t=0);#tangente horizontale en 0)
0 0
0
> limit(x(t),t=infinity);limit(y(t),t=infinity);limit(y(t)/x(t),t=
infinity);#direction asymptotique selon l'axe des ordonnées
∞
∞
∞
> T:=X->D(y)(2)/D(x)(2)*(X-x(2))+y(2);
:=
T X → D y( )( )2 (X − x 2( )) + ( )
( )
D x 2 y 2( )
> T(X);#y=(4*ln(2)+2)/(ln(2)+1)*(x-2*ln(2))+4*ln(2) est tangente à la courbe en t=2
(4ln 2( ) + 2 () X − 2ln 2( )) + +
( )
ln 2 1 4ln 2( ) Soit la suite (un) définie par u0 = 5 et par un + 1 =
+ 3 un 1 2 (un + 1).
Soit la suite (vn) définie par vn = + un 1
2 − un 1. Donner vn + 1 en fonction de vn.
Donner les limites des suites (vn), puis (un).
> f:=x->(3*x+1)/(2*x+2);#Ainsi, u[n+1]=f(u[n]) g:=x->(x+1/2)/(x-1);#Ainsi v[n]=g(u[n])
ginv:=x->1/2*(1+2*x)/(-1+x);#Il s'ensuit que u[n]=ginv(v[n]) simplify(g(f(ginv(x))));#v[n+1]=g(u[n+1])=g(f(u[n]))=g(f(ginv(v[
n])))
#On déduit que v[n+1]=4*v[n] puis que la limite de v[n] est +infinity (suite géométrique de raison 4 et de premier terme positif, et enfin que la limite de u[n] est 1, d'après
l'expression de u[n] en fonction de v[n] et des opérations algébriques sur les limites.
>
:=
f x → 1 + 3 x + 2 x 2
:=
g x → + x 1
2 − x 1 :=
ginv x → 1 2
+ 1 2 x
− x 1 4 x
> Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)
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