Soit f la fonction qui à x fait correspondre 2 − x2.
1) Donner les solutions a et b (avec a ≤ b) de l'équation f x( ) = 0.
2) On définit la surface S={(x,y) appartenant à R² tels que a ≤ x, x ≤ b, 0 ≤ y et y ≤ f x }. ( ) a) Donner l'aire de S.
b) Donner les coordonnées du centre de gravité de la surface S.
> restart:
> f:=x->2-x^2;
:=
f x → 2 − x2
> solve(f(x)=0,x);
− 2, 2
> A:=int(int(1,y=0..f(x)),x=-sqrt(2)..sqrt(2));#calcul de l'aire A:=int(f(x),x=-sqrt(2)..sqrt(2)):#autre variante pour le calcul de l'aire
:=
A 8 2
3
> xG:=int(int(x,y=0..f(x)),x=-sqrt(2)..sqrt(2))/A;#abscisse du centre de gravité
yG:=int(int(y,y=0..f(x)),x=-sqrt(2)..sqrt(2))/A;#ordonnée du centre de gravité
:=
xG 0 :=
yG 4 5
Soit (un) la suite définie par la récurrence suivante : u0 = 1 , u1 = 1 et un + 2 = un + 1 − + +
n 1
un 2 1.
Donner le terme u30 de cette suite approché à 10(−3) près.
> restart:
rsolve({u(n+2)=u(n+1)/(n+1)-u(n)/2+1,u(0)=1,u(1)=1},u(n));#ne donne rien !
restart:
u[0]:=1:u[1]:=1:
for n from 0 to 28 do
u[n+2]:=u[n+1]/(n+1)-u[n]/2+1 od:
u[30];evalf(u[30]);
rsolve {u(n + 2) = u(n + 1) − + , , }, +
n 1 1
2u n( ) 1 u 0( ) = 1 u 1( ) = 1 u n( ) 31255497880094496841397
45832879015985152000000 0.6819448953
Soit f satisafaisant l'équation différentielle (D( )2 )( )f ( )x + 7D f( )( )x + 10 ( )f x = 10 x + 7 avec les conditions initiales f 0( ) = 0 et D f( )( )0 = 0.
Donner l'ensemble des fonctions f solutions de ce problème.
> restart:
dsolve({(D@@2)(f)(x)+7*D(f)(x)+10*f(x) = 10*x+7, f(0)=0,D(f)(0)=0},f(x));
= ( )
f x 1 − +
3e(−5 x) 1
3e(−2 x) x Soient les fonctions réelles
:=
x t → ln t (( t − 1) ) et := y t → ln t (( t + 1) ).
1) Donner un tableau de variations complet (ensemble de définition, variations et limites) de la courbe paramétrée.
2) Etudier le comportement asymptotique de la courbe paramétrée lorsque t tend vers l'infini.
3) Donner la tangente (une équation) à la courbe paramétrée lorsque t vaut 1 3.
> restart:
x:=t->ln(abs(t*(t-1)));y:=t->ln(abs(t*(t+1)));
:=
x t → ln t (( t − 1) ) :=
y t → ln t (( t + 1) )
> simplify(D(x)(t));solve(D(x)(t)>0);
limit(x(t),t=-infinity);x(-1);limit(x(t),t=0,left);limit(x(t),t=
0,right);limit(x(t),t=1,left);limit(x(t),t=1,right);limit(x(t),t
=infinity);
simplify(D(y)(t));solve(D(y)(t)>0);
limit(y(t),t=-infinity);limit(y(t),t=-1,left);limit(y(t),t=-1,ri ght);limit(y(t),t=0,left);limit(y(t),t=0,right);y(1);limit(y(t), t=infinity);
( )
abs 1 t (, t − 1) (− + 1 2 t) 1 t (t − 1) ,
( )
RealRange Open 1( ),∞
RealRange Open 0( ),
Open 1 2
∞ ( ) ln 2
−∞
−∞
−∞
−∞
∞
( )
abs 1 t (, t + 1) (1 + 2 t) 1 t (t + 1) ,
( )
RealRange Open 0( ),∞
RealRange Open -1( ),
Open -1 2
∞
−∞
−∞
−∞
−∞
( ) ln 2
∞
> plot({[x(t),y(t),t=-10..-1.1],[x(t),y(t),t=-0.9..-0.1],[x(t),y(t ),t=0.1..0.9],[x(t),y(t),t=1.1...10]});
> limit(y(t)/x(t),t=infinity);limit(y(t)-x(t),t=infinity);#y=x est asymptote à la courbe en t=infinity
1 0
> t0:=1/3:
T:=X->D(y)(t0)/D(x)(t0)*(X-x(t0))+y(t0);
:=
T X → D y( )(t0 () X − x t0( )) + ( )
( )
D x t0 y t0( )
> simplify(T(X));#y=5/2*x-1/2*ln(2)+3*ln(3) est tangente à la courbe en t=1/3
− +
5 X 2
1
2ln 2( ) 3ln 3( )
L'usage du package linalg de maple est vivement conseillé pour cet exercice !
Soit a un paramètre réel. Soit u l'endomorphisme de R3 ayant pour matrice A =
0 a 1
a 0 a
1 a 0
.
1) Discuter la bijectivité de u (c'est-à-dire de l'inversibilité de la matrice A) en fonction du paramètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.
2) Dans chacun des cas où u n'est pas bijective (c'est-à-dire lorsque la matrice A n'est pas inversible), donner le noyau de u (une base et sa dimension) et l'image de u (une base et sa dimension).
3) Dans le cas où a=2, donner la matrice (A3 + 2 A B où ) B =
1 −1 0
0 1 −1
−1 0 1
.
> restart:with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
> A := matrix([[0, a, 1], [a, 0, a], [1, a, 0]]);
:=
A
0 a 1
a 0 a
1 a 0
En calculant le déterminant
> factor(det(A));solve(det(A)=0,a);
2 a2 , 0 0 ou par la décomposition LU,
> LUdecomp(A,L='l',U='u');
a 0 a
0 a 1
0 0 -2
> L:=evalm(l);U:=evalm(u);multiply(L,U):#on vérifie A=LU
:=
L
1 0 0
0 1 0
1
a 1 1
:=
U
a 0 a
0 a 1
0 0 -2
on s'apperçoit que les problèmes concernant l'inversibilité de la matrice A ne peuvent provenir
que lorsque a = 0.
> inverse(A);#l'inverse de A qui peut aussi être obtenue à partir de la décomposition LU
-1
2
1 2 a
1 2 1
2 a − 1 2 a2
1 2 a 1
2
1 2 a
-1 2 Le cas a = 0.
> a:=0;
A := matrix([[0, a, 1], [a, 0, a], [1, a, 0]]);
:=
a 0 :=
A
0 0 1
0 0 0
1 0 0
> colspace(A);# l'image de A
rank(A);# le rang ou la dimension de l'image {[1 0 0, , ],[0 0 1, , ]}
2
> nullspace(A);# le noyau de A nops(nullspace(A));
{[0 1 0, , ]} 1
> a:=2;
A:=matrix([[0, a, 1], [a, 0, a], [1, a, 0]]);
B:=matrix([[1, -1, 0], [0, 1, -1], [-1, 0, 1]]);
:=
a 2 :=
A
0 2 1
2 0 2
1 2 0
:=
B
1 -1 0 0 1 -1
-1 0 1
> evalm((A^3+2*A)&*B);
-3 14 -11 0 -14 14 3 11 -14
Soient P:=[1,1,0], Q:=[0,1,1], et R:=[1,0,1] trois points de R3 dans un repère orthonormé (O,i,j,k ).
1) Donner une équation cartésienne du plan (PQR).
2) Paramétriser la droite (PQ).
3) Donner le projeté orthogonal de R sur la droite (PQ).
> restart:with(linalg):
P:=[1,1,0];Q:=[0,1,1];R:=[1,0,1];
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
:=
P [1 1 0, , ] :=
Q [0 1 1, , ] :=
R [1 0 1, , ]
> solve({a*P[1]+b*P[2]+c*P[3]=1,a*Q[1]+b*Q[2]+c*Q[3]=1,a*R[1]+b*R[
2]+c*R[3]=1},{a,b,c});#équation cartésienne du plan : x/2+y/2+z/2=1 ou x+y+z=2
{a = 1, , } 2 c = 1
2 b = 1 2
> x:=t->P[1]+t*(Q[1]-P[1]):
y:=t->P[2]+t*(Q[2]-P[2]):
z:=t->P[3]+t*(Q[3]-P[3]):
x(t);y(t);z(t); #droite paramétrée par (1-t,1,t) et t réel −
1 t 1
t
> H:=[xh,yh,zh];#projeté orthogonal de R sur la droite (PQ) xh:=x(t):yh:=y(t):zh:=z(t): #traduit que H est sur la droite (PQ)
(xh-R[1])*(Q[1]-P[1])+(yh-R[2])*(Q[2]-P[2])+(zh-R[3])*(Q[3]-P[3]
)=0; #traduit que le vecteur RH est orthogonal au vecteur PQ solve(%,t);
t:=1/2:H:=[xh,yh,zh];#projeté orthogonal de R sur la droite (PQ) en tenant compte que t=1/2
:=
H [xh yh zh, , ] = − 2 t 1 0
1 2 :=
H
1, , 2 1 1
2
> Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)
Error, missing operator or `;`
