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Soit f la fonction qui à x fait correspondre - 2x

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Soit f la fonction qui à x fait correspondre 2 − x2.

1) Donner les solutions a et b (avec ab) de l'équation f x( ) = 0.

2) On définit la surface S={(x,y) appartenant à R² tels que ax, xb, 0 ≤ y et yf x }. ( ) a) Donner l'aire de S.

b) Donner les coordonnées du centre de gravité de la surface S.

> restart:

> f:=x->2-x^2;

:=

f x → 2 − x2

> solve(f(x)=0,x);

− 2, 2

> A:=int(int(1,y=0..f(x)),x=-sqrt(2)..sqrt(2));#calcul de l'aire A:=int(f(x),x=-sqrt(2)..sqrt(2)):#autre variante pour le calcul de l'aire

:=

A 8 2

3

> xG:=int(int(x,y=0..f(x)),x=-sqrt(2)..sqrt(2))/A;#abscisse du centre de gravité

yG:=int(int(y,y=0..f(x)),x=-sqrt(2)..sqrt(2))/A;#ordonnée du centre de gravité

:=

xG 0 :=

yG 4 5

Soit (un) la suite définie par la récurrence suivante : u0 = 1 , u1 = 1 et un + 2 = un + 1 − + +

n 1

un 2 1.

Donner le terme u30 de cette suite approché à 10(−3) près.

> restart:

rsolve({u(n+2)=u(n+1)/(n+1)-u(n)/2+1,u(0)=1,u(1)=1},u(n));#ne donne rien !

restart:

u[0]:=1:u[1]:=1:

for n from 0 to 28 do

u[n+2]:=u[n+1]/(n+1)-u[n]/2+1 od:

u[30];evalf(u[30]);

 



rsolve {u(n + 2) = u(n + 1) − + , , }, +

n 1 1

2u n( ) 1 u 0( ) = 1 u 1( ) = 1 u n( ) 31255497880094496841397

45832879015985152000000 0.6819448953

Soit f satisafaisant l'équation différentielle (D( )2 )( )f ( )x + 7D f( )( )x + 10 ( )f x = 10 x + 7 avec les conditions initiales f 0( ) = 0 et D f( )( )0 = 0.

Donner l'ensemble des fonctions f solutions de ce problème.

(2)

> restart:

dsolve({(D@@2)(f)(x)+7*D(f)(x)+10*f(x) = 10*x+7, f(0)=0,D(f)(0)=0},f(x));

= ( )

f x 1 − +

3e(−5 x) 1

3e(−2 x) x Soient les fonctions réelles

:=

x tln t (( t − 1) ) et := y tln t (( t + 1) ).

1) Donner un tableau de variations complet (ensemble de définition, variations et limites) de la courbe paramétrée.

2) Etudier le comportement asymptotique de la courbe paramétrée lorsque t tend vers l'infini.

3) Donner la tangente (une équation) à la courbe paramétrée lorsque t vaut 1 3.

> restart:

x:=t->ln(abs(t*(t-1)));y:=t->ln(abs(t*(t+1)));

:=

x tln t (( t − 1) ) :=

y tln t (( t + 1) )

> simplify(D(x)(t));solve(D(x)(t)>0);

limit(x(t),t=-infinity);x(-1);limit(x(t),t=0,left);limit(x(t),t=

0,right);limit(x(t),t=1,left);limit(x(t),t=1,right);limit(x(t),t

=infinity);

simplify(D(y)(t));solve(D(y)(t)>0);

limit(y(t),t=-infinity);limit(y(t),t=-1,left);limit(y(t),t=-1,ri ght);limit(y(t),t=0,left);limit(y(t),t=0,right);y(1);limit(y(t), t=infinity);

( )

abs 1 t (, t − 1) (− + 1 2 t) 1 t (t − 1) ,

( )

RealRange Open 1( ),∞ 

 



RealRange Open 0( ), 

 



Open 1 2

∞ ( ) ln 2

−∞

−∞

−∞

−∞

( )

abs 1 t (, t + 1) (1 + 2 t) 1 t (t + 1) ,

( )

RealRange Open 0( ),∞ 

 



RealRange Open -1( ),

 



Open -1 2

−∞

−∞

(3)

−∞

−∞

( ) ln 2

> plot({[x(t),y(t),t=-10..-1.1],[x(t),y(t),t=-0.9..-0.1],[x(t),y(t ),t=0.1..0.9],[x(t),y(t),t=1.1...10]});

> limit(y(t)/x(t),t=infinity);limit(y(t)-x(t),t=infinity);#y=x est asymptote à la courbe en t=infinity

1 0

> t0:=1/3:

T:=X->D(y)(t0)/D(x)(t0)*(X-x(t0))+y(t0);

:=

T XD y( )(t0 () Xx t0( )) + ( )

( )

D x t0 y t0( )

(4)

> simplify(T(X));#y=5/2*x-1/2*ln(2)+3*ln(3) est tangente à la courbe en t=1/3

− +

5 X 2

1

2ln 2( ) 3ln 3( )

L'usage du package linalg de maple est vivement conseillé pour cet exercice !

Soit a un paramètre réel. Soit u l'endomorphisme de R3 ayant pour matrice A =









0 a 1

a 0 a

1 a 0

.

1) Discuter la bijectivité de u (c'est-à-dire de l'inversibilité de la matrice A) en fonction du paramètre réel a : dire pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A est inversible et donner, pour ces valeurs, la matrice inverse de A.

2) Dans chacun des cas où u n'est pas bijective (c'est-à-dire lorsque la matrice A n'est pas inversible), donner le noyau de u (une base et sa dimension) et l'image de u (une base et sa dimension).

3) Dans le cas où a=2, donner la matrice (A3 + 2 A B où ) B =









1 −1 0

0 1 −1

−1 0 1

.

> restart:with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> A := matrix([[0, a, 1], [a, 0, a], [1, a, 0]]);

:=

A









0 a 1

a 0 a

1 a 0

En calculant le déterminant

> factor(det(A));solve(det(A)=0,a);

2 a2 , 0 0 ou par la décomposition LU,

> LUdecomp(A,L='l',U='u');









a 0 a

0 a 1

0 0 -2

> L:=evalm(l);U:=evalm(u);multiply(L,U):#on vérifie A=LU

:=

L













1 0 0

0 1 0

1

a 1 1

:=

U









a 0 a

0 a 1

0 0 -2

on s'apperçoit que les problèmes concernant l'inversibilité de la matrice A ne peuvent provenir

(5)

que lorsque a = 0.

> inverse(A);#l'inverse de A qui peut aussi être obtenue à partir de la décomposition LU





















 -1

2

1 2 a

1 2 1

2 a − 1 2 a2

1 2 a 1

2

1 2 a

-1 2 Le cas a = 0.

> a:=0;

A := matrix([[0, a, 1], [a, 0, a], [1, a, 0]]);

:=

a 0 :=

A









0 0 1

0 0 0

1 0 0

> colspace(A);# l'image de A

rank(A);# le rang ou la dimension de l'image {[1 0 0, , ],[0 0 1, , ]}

2

> nullspace(A);# le noyau de A nops(nullspace(A));

{[0 1 0, , ]} 1

> a:=2;

A:=matrix([[0, a, 1], [a, 0, a], [1, a, 0]]);

B:=matrix([[1, -1, 0], [0, 1, -1], [-1, 0, 1]]);

:=

a 2 :=

A









0 2 1

2 0 2

1 2 0

:=

B









1 -1 0 0 1 -1

-1 0 1

> evalm((A^3+2*A)&*B);









-3 14 -11 0 -14 14 3 11 -14

Soient P:=[1,1,0], Q:=[0,1,1], et R:=[1,0,1] trois points de R3 dans un repère orthonormé (O,i,j,k ).

1) Donner une équation cartésienne du plan (PQR).

(6)

2) Paramétriser la droite (PQ).

3) Donner le projeté orthogonal de R sur la droite (PQ).

> restart:with(linalg):

P:=[1,1,0];Q:=[0,1,1];R:=[1,0,1];

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

:=

P [1 1 0, , ] :=

Q [0 1 1, , ] :=

R [1 0 1, , ]

> solve({a*P[1]+b*P[2]+c*P[3]=1,a*Q[1]+b*Q[2]+c*Q[3]=1,a*R[1]+b*R[

2]+c*R[3]=1},{a,b,c});#équation cartésienne du plan : x/2+y/2+z/2=1 ou x+y+z=2

{a = 1, , } 2 c = 1

2 b = 1 2

> x:=t->P[1]+t*(Q[1]-P[1]):

y:=t->P[2]+t*(Q[2]-P[2]):

z:=t->P[3]+t*(Q[3]-P[3]):

x(t);y(t);z(t); #droite paramétrée par (1-t,1,t) et t réel

1 t 1

t

> H:=[xh,yh,zh];#projeté orthogonal de R sur la droite (PQ) xh:=x(t):yh:=y(t):zh:=z(t): #traduit que H est sur la droite (PQ)

(xh-R[1])*(Q[1]-P[1])+(yh-R[2])*(Q[2]-P[2])+(zh-R[3])*(Q[3]-P[3]

)=0; #traduit que le vecteur RH est orthogonal au vecteur PQ solve(%,t);

t:=1/2:H:=[xh,yh,zh];#projeté orthogonal de R sur la droite (PQ) en tenant compte que t=1/2

:=

H [xh yh zh, , ] = − 2 t 1 0

1 2 :=

H

 



1, , 2 1 1

2

> Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS)

Error, missing operator or `;`

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