DEVOIR A LA MAISON N°4. TS1.
Pour le mercredi 9 octobre 2019.
I. f est la fonction définie par f (x ) 4 x 3 x ² x 2 1. Déterminer l ensemble de définition de f.
2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (6 limites) et en déduire les asymptotes à la courbe de f.
3. Construire le tableau complet des variations de f.
4. Étudier la position relative de la courbe de f et de l axe des abscisses.
II.
1. Montrer que, pour tout réel x 5, x 5 x
1 x . 2. En déduire lim
x
x 5 x . III. Déterminer lim
x 3
2x ² 13x 21 x ² x 6
IV. Montrer qu il n existe pas de fonction f définie sur +* telle que lim
x
f(x )
x 0 et lim
x
f(x )
x ² 1.
I. f est la fonction définie par f (x ) 4 x 3 x ² x 2
1. On cherche les V.I. : racines de x ² x 2 : 9 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 et 2.
f est donc définie sur \{1 2}.
2. lim
x
f (x ) lim
x
4x
x² lim
x
4
x 0 et lim
x
f(x ) lim
x
4x
x ² lim
x
4 x 0.
Étude des limites en 1 et en 2 : lim
x 1
4 x 3 7 et lim
x 1
x² x 2 0 ; lim
x 2
4 x 3 5 et lim
x 2
x² x 2 0 On cherche donc le signe de x ² x 2.
On a le tableau suivant :
x 2 1 + x² x 2
lim
x 1
4x 3 7 et lim
x 1
x² x 2 0 donc lim
x 1
f(x ) lim
x 1
4x 3 7 et lim
x 1
x² x 2 0 + donc lim
x 1
f(x) lim
x 2
4x 3 5 et lim
x 2
x ² x 2 0 + donc lim
x 2
f(x) lim
x 2
4x 3 5 et lim
x 2
x ² x 2 0 donc lim
x 2
f(x)
Les droites d équations x 2 et x 1 sont asymptotes à la courbe de f.
L axe des abscisses (d équation y 0) est asymptote à la courbe de f en + et . 3. On étudie le signe de f (x ).
On peut construire le tableau suivant :
x 2 3/4 1 + 4x 3
x² x 2 f(x)
Posi tions rel ati ves C
fest en dessous de
l axe des abscisses
C
fest au dessus de
l axe des abscisses
C
fest en dessous de
l axe des abscisses
C
fest au dessus de
l axe des abscisses 4. f est dérivable sur \{ 2 1}.
Pour tout x de \{ 2 1}, f (x ) 4( x² x 2) (4x 3)(2 x 1) (x ² x 2)²
4x ² 6x 11 (x ² x 2)² .
Signe de 4x² 6 x 11 : 36 16 11 0 donc le trinôme n a pas de racine et est toujours du signe
de a 4 0.
On peut construire le tableau suivant :
x 2 1 + 4x² 6x 1 1
(x² x 2)² f (x )
variations d e f 0
+
+
0
II.
1. Soit x un réel supérieur ou égal à 5.
x 5 x et 1
x sont positifs.
x 5
x
2
x 5
x ² et
1
x
2
1
x
x 5 x²
1 x
x 5 x x ²
5
x² 0 donc x 5 x ²
1
x , c'est-à-dire
x 5
x
2
1
x
2
Alors x 5 x
1
x car deux nom bres posit ifs sont rangés dans le m êm e ordre que leurs carrés.
2. Pour tout x 5, on a 0 x 5 x
1 x . lim
x
0 lim
x
1
x 0 donc, d après le th des gendarmes, lim
x
x 5 x 0.
III. lim
x 3
2x ² 13x 21 2 3² 13 3 21 0 et lim
x 3
x ² x 6 3² 3 6 0. On a une F.I.
On factorise 2 x² 13x 21 : 1 ; x
13 et x
27
2 donc, pour tout réel x, 2x ² 13x 21 2(x 3)
x 7
2 . On factorise x² x 6 : 25 ; x
13 et x
22 donc, pour tout réel x, x² x 6 ( x 3)( x 2).
Ainsi, pour tout réel x différent de 2 et 3, on a 2x² 13x 21 x² x 6
2(x 3)
x 7
2 (x 3)(x 2)
2x 7 x 2 lim
x 3
2x 7 1 et lim
x 3
x 2 5 donc lim
x 3
2x² 13x 21 x² x 6
1 5 .
IV. Supposons qu il existe une fonction f définie sur +* telle que lim
x
f(x )
x 0 et lim
x
f(x) x ² 1.
Pour tout x 0, f( x) x
f (x ) x ² x.
lim
x
f(x)
x ² 1 et lim
x
x donc lim
x
f( x)
x ² x , c'est -à-dire lim
x
f(x)
x + , ce qui contredit l hypothèse lim
x
