() () () DEVOIR A LA MAISON N°4. TS1.

DEVOIR A LA MAISON N°4. TS1.

Pour le mercredi 5 octobre 2016

I. f est la fonction définie sur \{3} par f( x) 3x² 10 x 6

x 3 , C

est la courbe de f dans un repère et est la droit e d équati on y 3 x 2 dans ce repère.

1. Etudier les positions relatives de C

et .

2. Construire le tableau de variations de la fonction f.

3. Soit x un réel. Démontrer que si x 4, alors f (x ) 4.

4. Soit ( ) ^u

la suite définie pour tout n de par





u

5 u

f ( ) ^u

. a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout n de , u

4.

b. Montrer par récurrence sur n que la suite ( ) ^u

est croissante.

II. Une usine fabrique des téléphones qu elle vend à des détaillants. Un contrôle de qualité a montré que la probabilité qu'un téléphone fabriqué par l'entreprise soit défectueux est égale à 0,08. L entreprise

conditionne ses lampes par cartons de 20. On choisit un carton au hasard et on note X le nombre de téléphones défectueux dans ce carton.

Si nécessaire, les résultats seront donnés à 10

près.

1.

a. Quelle est la loi de X ? Justifier en rédigeant soigneusement.

b. Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter par une phrase.

c. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 téléphones défectueux dans un carton ? Détailler la formule du calcul.

d. Quelle est la probabilité d obtenir au plus 6 téléphones défectueux dans un carton ? e. Quelle est la probabilité d obtenir au moins 8 téléphones défectueux dans un carton ? 2. Un carton est refusé par les commerçants s il contient au moins trois téléphones défectueux.

Déterminer la probabilité qu un carton soit refusé.

3. Un commerçant commande 8 cartons. Quelle est la probabilité qu il en refuse exactement 3 ?

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°4. TS1

I.

1. Soit x un réel de \{3}. f( x) (3 x 2) (3x²10x 6) (3 x 2)( x 3) x 3

x x 3 . On peut alors construire le tableau suivant :

x 0 3 +

x +

x 3 +

f(x) (3x 2) + +

Positions C

au dessus de C

en dessous de C

au dessus de C

est au dessus de sur ] 0] et sur ]3 [ et C

est en dessous de sur [0 3[.

2. f est dérivable sur -{3} comme quotients de fonctions dérivables.

f ( x) (6 x 10)( x 3) (3 x ² 10x 6)1 ( x 3)

3 x² 18x 24 ( x 3)

.

Signe de 3 x² 18 x 24 : 36 donc le trinôme a deux racines qui sont 2 et 4 et il est positif (du signe de a 3) sauf entre ces racines. On peut donc dresser le tableau de variations :

x 2 3 4 +

3x ² 18 x 24 + +

( x 3)

+ + + +

f (x ) + +

f( x) 2

14 3. Soit x un réel. Si x 4, alors f (x ) f (4) car f est croissante sur [4 [.

alors f( x ) 14 car f (4) 14 alors f (x ) 4 car 14 4 4. Soit ( ) ^u

la suite définie pour tout n de par





u

5 u

f ( ) ^u

.

a. Initialisation : pour n

0 : u

5 et 5 4 donc u

4. La propriété est vraie pour n

0.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que u

4. Montrons que u

4.

u

4 donc f ( ) ^u

f(4) car f est croissante sur [4 [ donc u

14 car f(4) 14 et f ( ) ^u

u

donc u

4 car 14 4.

Conclusion : pour tout n de , u

4.

b. Montrons par récurrence que, pour tout n de , u

u

.

Initialisation : pour n

0 : u

5 et u

f(5) 15,5donc u

u

. La propriété est vraie pour n

0.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que u

u

. Montrons que u

u

. u

u

4 d après le a

donc f ( ^u

) f ( ) ^u

car f est croissante sur [4 [ donc u

u

car u

f ( ^u

) et u

f ( ) ^u

Conclusion : pour tout n de , u

u

. La suite ( ) ^u

est donc croissante.

II.

1.

a. On répète 20 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli consistant à choisir un téléphone et à noter s il est défectueux. La probabilité que le téléphone soi défectueux est 0,08.

Alors la variable aléatoire X qui compte le nombre de téléphones défectueux suit la loi binomiale de paramètres n 20 et p 0,08.

b. E (X ) np 20 0,08 1,6. Si on choisit un grand nombre de cartons, on aura en

moyenne 1,6 téléphone défectueux par carton.

c. P (X 5)  

 

5

0,08

(1 0,08)

0,015.

La probabilité d'obtenir exactement 5 téléphones défectueux dans un carton est environ 0,015.

d. D après la calculatrice, P (X 6) 0,999. La probabilité d obtenir au plus 6 téléphones défectueux dans un carton est environ 0,999.

e. P (X 8) 1 P (X 7) 8,76 10

0

La probabilité d obtenir au moins 8 téléphones défectueux dans un carton est environ 0.

2. P( X 3) 1 P( X 2) 0,212. La probabilité qu un carton soit refusé est environ 0,212.

3. On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre de cartons refusés.

On répète 8 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli consistant à choisir un carton et à noter s il est refusé. La probabilité qu il soit refusé est environ 0,212. Alors Y suit la loi binomiale de paramètres n 8 et p 0,212.

P (Y 3) 0,162. La probabilité que le commerçant refuse exactement 3 cartons est environ

0,162.