DEVOIR A LA MAISON N°7. TS1.
Pour le mercredi 20 novembre 2019.
I. A maîtriser parfaitement.
f est la fonction définie sur par f(x) x4 5x3 9x² 6x 1.
On note f la dérivée de f sur .
1. Construire le tableau de variation de f , dans lequel on fera apparaître les limites que l on justifiera.
2. Montrer que l équation f (x) 0 admet dans une unique solution . 3. Donner un encadrement de d amplitude 10 2.
4. Donner une valeur approchée de à 10 2 près.
5. Donner le tableau de signes de f (x).
6. En déduire le tableau de variation de f (faire apparaître les limites et les justifier).
7. Peut-on déduire de la question 3 un encadrement de f( ) ? Justifier.
II. Faire les exemples d application du document "Droites et plans de l espace" (page3 de ce document).
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 7. TS1.
I. A maîtriser parfaitement.
f est la fonction définie sur par f(x) x4 5x3 9x² 6x 1.
On note f la dérivée de f sur .
1. f est dérivable sur . Pour tout x de , f (x) 4x3 15x² 18x 6.
lim
x
f (x) lim
x
4x3 et, de même, lim
x
f (x) .
f est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x) 12x² 30x 18.
Signe de 12x² 30x 18 : 1764 donc le trinôme a deux racines qui sont x1 3 et x2
1 2 et il est du signe de a 12 0 sauf entre ces racines. On a donc le tableau suivant :
x 3 1/2 + f (x)
f (x) 87 + 5/4
2. Sur ] 3], f est continue (fonction polynôme) et strictement croissante ; lim
x
f (x) ; f( 3) 87 et 0 ] 87] donc l équation f(x) 0 admet une unique solution dans cet intervalle.
Sur [ 3 [, le minimum de f est 5
4 0 donc l équation f(x) 0 n admet pas de solution dans cet intervalle.
Ainsi, l équation f (x) 0 admet dans une unique solution .
3. D après le tableau de valeurs de la calculatrice, f ( 4,77) 0 et f ( 4,76) 0 donc
4,77 4,76.
4. D après le tableau de valeurs de la calculatrice, f ( 4,762) 0 et f ( 4,761) 0 donc 4,762 4,761. Une valeur approchée de à 10 2 près est 4,76.
5 et 6. On a le tableau de signes et variation suivant :
x lim
x
f(x) lim
x
x4 lim
x
f(x) lim
x
x4 .
f (x)
f(x) f( )
7 On sait que 4,77 4,76 mais, f n étant pas monotone sur [ 4,77 4,76], on ne peut pas en déduire un encadrement de f( ).
On peut seulement affirmer que f( ) est inférieur à f( 4,77) et à f( 4,76).
II. Corrigé en classe.
