DEVOIR A LA MAISON N°8. TS1.
Pour le mercredi 27 novembre 2019.
I. Sur la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un cube. Le but de l exercice est de tracer la section du cube par le plan (MN P ).
1. Donner l intersection du plan (MNP ) et de la face ABCD.
2. Déterminer l intersection du plan ( MNP) et du plan (BCG). Construire alors l intersection du plan ( MNP) et des BCGF et ABFE .
3. Déterminer l intersection du plan ( MNP) et du plan (DCG). Construire alors l intersection du plan ( M NP) et de la face DCGH .
4. Tracer en rouge la section du cube par le plan (MNP ). Cette section doit être un pentagone.
II. Ex 53 page 283 (à savoir faire pour le prochain DS) III. Exercice à prise d initiative.
f est la fonction définie sur par f( x) 2x
315
2 x² 8 x 6. Combient la courbe de f admet-elle de
tangente(s) passant par l origine ?
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 8. TS1.
I.
1. L intersection du plan (MNP ) et de la face ABCD est le segment [ MN].
2. Les plans (MNP) et ( BCG) ne sont pas parallèles donc ils sont sécants selon une droite .
P appartient aux deux plans donc à .
Les droites ( MN) et ( BC) sont coplanaires dans le plan ( ABC) et ne sont pas parallèles donc elles sont sécantes en un point I.
I appartient à ( MN) donc à (MNP ) et I appartient à ( BC) donc à ( BCG). Alors I appartient à .
l intersection du plan ( MNP ) et du plan (BCG) est donc la droite (IP ).
La droite ( IP) coupe (BF ) en un point J.
L intersection du plan ( MNP) et de la face BCGF est alors le segment [JP] et l'intersection du plan ( MNP) et de la face ABFE est le segment [MJ ].
3. Les plans (ABF) et (DCG ) sont parallèles et le plan (MNP ) coupe le plan ( ABF) selon la droite (MJ) donc il coupe le plan ( DCG ) selon une droite parallèle à (MJ ).
P appartient à (MNP ) et à (DCG ) donc l intersection du plan (MNP ) et du plan (DCG) est la parallèle à ( MJ ) passant par P.
Cette droite coupe la droite ( DH ) en un point K.
L'intersection du plan ( MNP) et de la face DCGH est le segment [ PK ].
de la face ABFE.
4. La section recherchée est le pentagone NMJPK
II. Ex 53 page 283 1.
a. Dans le triangle IAE rectangle en A, on a (th de Pythagore) : EI 13 3 . Dans le triangle HEJ rectangle en H, on a (th de Pythagore) : EJ 13
3 EI EJ donc EIJ est iscocèle en E.
Dans le triangle JFG rectangle en F, on a (th de Pythagore) : FJ 10 3 . Dans le triangle IFB rectangle en B, on a (th de Pythagore) : IF 10
3 FJ IF donc IFJ est iscocèle en F.
b. Dans l e tri angle EIJ isocèle en E, K est le milieu de ( IJ) donc (EK ) et ( IJ) sont perpendiculaires (et donc orthogonales).
De même, dans le triangle IFJ, ( FK ) est orthogonale à ( IJ).
(IJ) est orthogonales aux deux droites ( EK ) et (FK) qui sont sécantes dans le plan ( EFK ) donc (IJ ) est perpendiculaire au plan ( EFK).
2. D après la question précédente, ( IJ) est orthogonale à toutes les droites du plan (EFK) et donc en particulier à (EF).
D autre part, ( FP) est perpendiculaire au plan ( EIJ) et donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à ( IJ).
(IJ) est orthogonales aux deux droites ( EF ) et (FP) qui sont sécantes dans le plan (EFP ) donc (IJ ) est perpendiculaire au plan ( EFP).
3.
a. Les plans (EKF ) et (EFP ) sont perpendiculaires à la droite (IJ) et contiennent la droite (EF ).
Or il existe un unique plan perpendiculaire à un plan donné et contenant une droite donnée.
Ainsi, les plans (EKF ) et (EFP ) sont confondus : E , F , P et K sont coplanaires.
b. (IJ) est perpendiculaire au plan (EPF ) et donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à (EP).
On se place dans le plan (EIJ ), qui contient le point P par construction de P.
Dans ce plan, (IJ ) et ( EK) sont perpendiculaires (voir question 1b), de même que (IJ) et ( EP).
Or, dans un plan, il existe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée (ici ( IJ)) passant par un point donné (ici E). Les droites ( EK) et (EP ) sont donc confondus : E, K et P sont alignés.
III. Soit a un réel. La tangente T
aà la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y f ( a)( x a) f( a).
f est dérivable sur . Pour tout réel x, on a f ( x) 6x ² 15x 8.
T
aa donc pour équation y (6a ² 15 a 8)( x a) 2 a
315
2 a² 8 a 6.
T
apasse par l'origine ssi (6a²-15a-8)(0-a)+2 a
315
2 a² 8 a 6 0 ssi 4a
315
2 a² 6 0
On cherche donc le nombre de solutions de l'équation 4a
315
2 a ² 6 0.
Soit g la fonction définie sur par g( x) 4 x
315
2 x² 6.
g est dérivable sur . Pour tout réel x, g (x ) 12x ² 15x 3 x(5 4 x). g (x) a pour racines 0 et 5 4 . On peut donc construire le tableau suivant :
x 0 5/4 + g
g + 317 32
6 Sur l'intervalle
5
4 , le minimum de g est 6 donc l'équation g( x) 0 n'a pas de solution.
Sur l'intervalle
5
4 , la fonction g est continue (fonction polynôme) et strictement décroissante ; g
5 4
317 32 , lim
x
