DEVOIR A LA MAISON N°10. TS1. Pour le mercredi 22 janvier 2020. I.

DEVOIR A LA MAISON N°10. TS1.

Pour le mercredi 22 janvier 2020.

I. L espace est muni d un repère orthonormal. Dans ce repère, A(1 1 1) et B (2 3 4). est la droite de représentation paramétrique





x 2 t y 2 4 t z t

, t .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( AB).

2. Étudier la position relative des droites (AB ) et .

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D parallèle à passant par A.

II.

Partie A.

Soit g la fonction définie sur par g( x) (x 2) e

2.

1. Déterminer la limite de g en + . 2. Déterminer la limite de g en .

3. Démontrer que l’équation g( x) 0 admet une unique solution sur . 4. En déduire le signe de la fonction g sur .

5. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude 10

de . Partie B.

Soit f la fonction définie sur par f( x) x ² x² e

. 1. Résoudre l’équation f (x ) 0 sur .

2. Étudier les variations de la fonction f sur .

3. Démontrer que le maximum de la fonction f sur [0 ∞[ est égal à

2 III. Pour prendre des initiatives.

Alors qu ils ne représentent que 9% de la population, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 22% des tués sur

la route. En modélisant ces données par des probabilités, montrer qu un jeune a environ 2,85 fois plus de

risque de mourir sur la route qu un autre usager.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 10. TS1.

I.

1. AB







 1 2 3

est un vecteur directeur de la droite ( AB ) et A(1 1 1) est un point de ( AB ). Alors

( AB) a pour représentation paramétrique





x 1 t y 1 2 t z 1 3 t

, t .

2. u







 1

4 1

est un vecteur directeur de .

u et AB ne sont pas colinéaires donc les droites et (AB) ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes ou non coplanaires.

On résout le système ( S) :

 

 ^{x y} _z ^{2 4} _t ^{2 t t}

x 1 t y 1 2 t z 1 3 t

( S) 

 

 ^{x y} _z ^{2 4} _t ^{2 t t}

2 t 1 t

2 4 t 1 2t t 1 3 t



 

 ^{x y} _z ^{2 4t} _t ^{2 t}

t 1

2 4 4 1 2 1

t 4



 

 _z ^{x y 2 4t} _t ^{2 t}

t 1 14 3 t 4

Le système n a pas de solution donc

et ( AB) ne sont pas coplanaires.

3. D est parallèle à donc u est un vecteur directeur de D. D autre part, A est un point de D.

Alors D a pour représentation paramétrique





x 1 t y 1 4 t z 1 t

, t .

II.

Partie A.

1. lim

x

x 2 et lim

x

e

donc lim

x

g (x )

2. Pour tout réel x, g (x ) ( x 2) e

e

2 xe

e

2 e

e

2 lim

x

xe

0 donc lim

x

xe

e

et lim

x

e

0 donc lim

x

2 e

e

0 Alors lim

x

g( x) 2.

3. g est dérivable sur . Pour tout réel x, g (x ) e

(x 2)e

( x 3) e

. On a donc le tableau :

x 3 + x 3

e

f (x )

f (x ) 2 + e

2

Pour tout x de ] 3[, g( x) 2 donc l équation g (x) 0 n admet pas de solution sur cet

intervalle.

g est continue et strictement croissante sur [ 3 [ ; f( 3) e

2, lim

x

g (x ) donc l équation g( x) 0 admet une unique solution sur l intervalle [ 3 [.

Ainsi l équation g( x) 0 admet une unique solution dans . 4. On peut alors construire le tableau de signes suivant :

x + g(x )

5. g(3,069) 0 et g(3,07) 0 donc 3,069 3,07.

Partie B.

1. f( x) 0  x² ( ^{1 e}

) ^{0  x² 0 ou 1 e}

^{0  x 0 e}

^{1  x 0 ou x 4.}

Les solutions de l équation f( x) 0 sont 0 et 4.

2. f est dérivable sur .

Pour tout réel x, f (x) 2 x 2 xe

x ² e

x ( ^{2 2e}

^xe

) ^x ( ^{( x 2) e}

^{2 =} ) ^{xg (x)}

On peut donc construire le tableau suivant :

x 0 + x

g(x ) f (x )

f (x ) + f( )

0 Pour tout x de , f (x ) x² ( ^{1 e}

) ^.

lim

x

x² et lim

x

( ^{1 e}

) 1 donc lim

x

f (x ) lim

x

x² et lim

x

( ^{1 e}

) donc lim

x

f( x)

3. D après le tableau de variations de f, le maximum de f sur [0 [ est f( ).

g ( ) 0 donc ( 2) e

2 0, c'est-à-dire ( 2) e

2. Ainsi, e

2 2 .

Alors, f( ) ² ² e

² ² 2

2

²( 2) 2 ²

2

3

2 . Ainsi, le maximum de la fonction f sur [0 ∞[ est égal à

2

III. Pour prendre des initiatives.

On choisit une personne au hasard dans la population. On note J l événement

"la personne choisie est jeune" et M l événement "la personne choisie meurt sur la route".

D après l énoncé, on a P (J ) 0,09 et P

(J ) 0,22.

On a alors P ( ) ^{J 1 0,09 0,91.}

On cherche à montrer que P

(T ) 2,85P

( T).

Posons p P (T ). On a l arbre ci-contre :

Alors P (T J ) P (T ) P

( J) 0,22 p et donc P

(T ) P( T J ) P( J)

0,22p 0,09

22 9 p D autre part, P T J 0,78p donc P

(T ) P T J

P ( ) ^J

0,78p 0,91

78 91 p.

Alors P

(T ) P

(T )

22 9

p

p

77

27 . On a ainsi, P

(T ) 77

27 P

( T). Or 77

27 2,85.

On a donc bien P

(T ) 2,85P

(T ) : un jeune a environ 2,85 fois plus de risque de mourir sur la route qu un autre usager.

T

p

J 0,22

J 0,78

T

1-p J

J