() DEVOIR A LA MAISON N°13. TS1.

DEVOIR A LA MAISON N°13. TS1.

Pour le mercredi 19 février 2020.

I. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f( x) (ln(x ))

x On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f et interpréter graphiquement le résultat.

2.

a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, f (x ) 4

 



 

 ln ( x )

x

2

.

b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de +∞.

3. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.

a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, f (x ) ln( x)(2 ln( x)) x

b. Construire le tableau de variation de f.

c. Démontrer que l’équation f (x) =1 admet une unique solution sur ]0 ∞[ et donner un encadrement de d’amplitude 10

.

II. Prise d initiative (bac)

On considère la courbe C d’équation y e

, tracée ci-contre.

Pour tout réel m strictement positif, on note D

la droite d’équation y mx.

1. Dans cette question, on choisit m e. Démontrer que la droite D

, d’équation y ex, est tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1.

2. Conjecturer à l aide de votre calculatrice, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de la courbe C et de la droite D

. Expliquer votre démarche.

3. Démontrer cette conjecture.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 13. TS1.

I.

1. lim

x 0

ln(x ) donc lim

x 0

(ln( x))² D autre part, lim

x 0

x 0

Alors lim

x 0

f (x) . L axe des ordonnées est asymptote à la courbe de f.

2.

a. Soit x un réel strictement positif.

4   

 

 ln ( x )

x

2

4  

  1 2 ln( x)

2

( ^x )

⁴

1 4

(ln(x ))

x

(ln(x ))

x f (x ).

Ainsi, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, f (x ) 4

 



 

 ln ( x )

x

2

. b. On pose X x .

lim

x

X et lim

X

ln( X)

X 0 donc lim

x

ln ( ^x )

x 0 et donc lim

x

4   

 

 ln ( ^x )

x

2

4 0 0, c'est-à-dire lim

x

f( x) 0. Ainsi, l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de +∞.

3. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.

a. Pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, f (x )

2 ¹

x ln(x) x (ln(x ))² 1 x ²

2ln( x) (ln( x))² x ² f (x) ln(x )(2 ln(x ))

x

b. ln( x) 0  x 1 et 2 ln(x ) 0  ln(x) 2  x e

. On peut alors construire le tableau suivant :

x 0 1 e

ln( x)

2 ln(x ) x ² f (x )

f (x ) + 4 e

0 0

4. Sur [1 [, le maximum de f est 4 e

1 donc l équation f (x ) 1 n admet pas de solution sur

[1 [.

Sur ]0 1], la fonction f est continue et strictement décroissante ; lim

x 0

f( x) , f(1) 0 et 1[0 [. Alors l équation f( x) 1 admet une unique solution dans ]0 1].

Ainsi, l’équation f (x) =1 admet une unique solution sur ]0 ∞[.

f (0,49) 1 et f (0,5) 1 donc 0,49 1.

II.

On considère la courbe C d’équation y e

, tracée ci-contre.

Pour tout réel m strictement positif, on note D

la droite d’équation y mx.

1. Soit f la fonction définie sur par f( x) e

. C est la courbe de f.

f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) e

.

La tangente à la courbe de C au point d abscisse 1 a pour équation y f (1)(x 1) f (1)

y e

(x 1) e

y ex e e

y ex.

Ainsi , la droite D

, d’équation y ex , est tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1.

2. A la calculatrice, on trace la courbe C et des droites d équation y mx en testant différentes valeurs de m.

Il semble que :

 lorsque m e, la droite D

ne coupe pas la courbe C.

 lorsque m e, la droite D

a un point d intersection avec C.

 lorsque m e la droite D

coupe C en deux points.

3. Pour tout x de , on pose g

( x) e

mx.

Le nombre de points d intersection de D

et C est le nombre de solutions de l équation g

( x) 0.

g

est dérivable sur . Pour tout réel x, g

(x) e

m . e

m 0  x ln(m ) (car m 0)

On a donc le tableau suivant :

x ln( m) g

(x )

g

(x ) m(1 ln( m))

lim

x

e

0 et lim

x

mx car m 0. Ainsi, lim

x

g

(x ) . Pour tout x de , g

(x ) e

 

  1 m ^x

e

. lim

x

e

et lim

x

x

e

0 donc lim

x

g

( x) . g

(ln(m )) m mln( m) m(1 ln( m)).

Démontrer cette conjecture.

D après le tableau de variation, le nombre de solutions de l équationg

( x) 0 dépend du signe de m (1 ln(m )).

m (1 ln(m )) 0  1 ln(m ) 0 (car m 0)  ln(m ) 1  m e Ainsi :

 si m e : le minimum de g

sur est m(1 ln( m )) 0 donc l équation g

(x) 0 n admet pas de solution et la droite D

et la courbe C n ont pas de point d intersection.

 si m e : le minimum de g

sur est e (1 ln(e )) 0 et n est atteint que pour x ln(e ) 1 donc l équation g

( x) 0 a pour unique solution 1 : D

et C n'ont qu un point d intersection.

 si m e : d après le TVI (à rédiger deux fois correctement), l équation g

(x ) 0 admet deux

solutions et donc la droite D

et la courbe C ont deux points d intersection.