DEVOIR A LA MAISON N°10. TS1.

DEVOIR A LA MAISON N°10. TS1.

Pour le mardi 24 janvier 2017

I. A savoir faire rapidement.

Construire le tableau de variations des fonctions suivantes en faisant apparaître les limites (Rédiger soigneusement le calcul des limites).:

1. f définie sur par f (x ) e ^2x

^{3x² 12x 1} 2. h définie sur par h( x) xe ^x .

II. A savoir faire rapidement.

Construire les tableaux de signes des expressions suivantes : 1. e ^2x e ^x

2. e ^x e 3. e ^x² 1

4. e ^{2x 3} e ^{x² 1} 5 5. xe ^2x 2 e ^2x

III. On considère l équation différentielle (E):y 3y 0.

1. Vérifier que la fonction f définie sur par f (x) e ^3x est solution de (E ), c'est-à-dire que pour tout réel x, f (x) 3f (x) 0.

2. Vérifier que pour tout réel k, la fonction f _k définie sur par f _k ( x) ke ^3x est solution de (E).

3. Soit g une fonction solution de (E ) et h la fonction définie sur par h (x ) g (x) e ^3x .

a. Montrer que la fonction h est constante sur . On note k cette constante : h (x) k, pour tout réel x.

b. Exprimer alors g( x) en fonction de x et k.

4. Déduire des questions 2 et 3 les solutions de l équation (E ).

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°10. TS1

I.

1. Etude des limites :

On pose X 2x ³ 3 x² 12x 1.

lim

x

X lim

x

2 x ³ et lim

X

e ^X donc lim

x

f (x ) . lim

x

X lim

x

2x ³ et lim

X

e ^X 0 donc li m

x

f (x) 0.

f est dérivable sur . Pour tout réel x, on a

f ( x) ( 6x ² 6x 12) e ^2x

^{3x² 12x 1} 6( x² x 2)e ^2x

^{3x² 12x 1}

Signe de x ² x 2 : 9 donc le trinôme a deux racines qui sont 2 et 1 et il est positif (du signe de a 1) sauf entre ces racines. On peut donc construire le tableau de signes et variations :

x 2 1 + 6

x² x 2 + +

e ^2x

^{3x² 12x 1} + + +

f (x) +

f( x) + e ⁸

e ¹⁹ 0 2. Etude des limites :

D après le cours, lim

x

h( x) 0.

lim

x

x et lim

x

e ^x donc lim

x

h (x ) .

h est dérivable sur et pour tout réel x on a : h (x ) 1 e ^x xe ^x ( x 1) e ^x . On peut donc construire le tableau de signes et variations :

x 1 +

x 1 +

e ^x + +

h ( x)

h( x) 0 + e ¹ 1

e

II. Construire les tableaux de signes des expressions suivantes : 1. e ^2x e ^x e ^x ( ^{e x 1} )

e ^x 0 pour tout réel x.

e ^x 1 0  e ^x 1  x 0. On a donc le tableau de signes :

x 0 +

e ^x 1 +

e ^x + +

h ( x)

ex e 0  e ^x e ¹  x 1. On a donc le tableau de signes : 2.

x 1 +

e ^x e +

3. e ^x² 1 0  e ^x² 1  x² 0. On a donc le tableau de signes : x 0 +

e ^x² 1 +

4. La fonction exponentielle étant strictement positive sur , e ^{2x 3} e ^{x² 1} 5 5 pour tout réel x donc e ^{2x 3} e ^{x² 1} 5 0 sur .

5. xe ^2x 2 e ^2x ( x 2) e ^2x . On a donc le tableau de signes :

x 2 +

x 2 +

e ^x + +

xe ^2x 2e ^2x

III. On considère l équation différentielle (E):y 3x 0.

1. Pour tout réel x, f ( x) 3e ^3x donc f ( x) 3 f( x) 3 e ^3x 3e ^3x 0. f est donc solution de l équation (E).

2. Soit k un réel. f k est dérivable sur . Pour tout réel x, f k (x ) 3ke ^3x .

Alors, pour tout réel x, f k (x ) 3f k (x ) 3 ke ^3x 3ke ^3x 0. f k est donc solution de l équation (E ).

3. Soit g une fonction solution de (E ) et h la fonction définie sur par h (x ) g (x) e ^3x .

a. g est solution de (E ) donc, pour tout réel x, g (x ) 3g (x ) 0, c'est-à-dire g (x ) 3 g( x).

g est dérivable sur donc h est dérivable sur .

h (x ) g ( x) e ^3x 3g (x )e ^3x 3g ( x) e ^3x 3g( x) e ^3x 0. h est nulle sur donc h est constante sur : il existe un réel k tel que, pour tout x de , h (x ) k.

b. Soit x un réel. h (x ) g (x) e ^3x et h( x) k.

Alors g (x )e ^3x k , c'est-à-dire g (x ) ke ^3x .

4. D après la question 2, les fonctions de la forme x ke ^3x où k est un réel sont toutes des solutions de (E).

D après la question 3, toutes les solutions de (E) sont de la forme x ke ^3x où k est un réel.

Ainsi, les solutions de (E ) sont les fonctions de la forme x ke ^3x où k est un réel.