Cours de terminale S Calcul de limites de fonctions
A. OLLIVIER
Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer
2018-2019
A. OLLIVIER Cours de terminale S Calcul de limites de fonctions
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
A. OLLIVIER Cours de terminale S Calcul de limites de fonctions
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
"∞ − ∞",
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Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
"∞ − ∞", "0× ∞",
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Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
"∞ − ∞", "0× ∞", " 0 0",
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Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus avec les suites.
On retient qu’on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type :
"∞ − ∞", "0× ∞", " 0
0", " ∞
∞"
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) =
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) = +∞
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) = +∞et par inverse : lim
x−→+∞
1 x−2 =
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) = +∞et par inverse : lim
x−→+∞
1
x−2 =0.
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) = +∞et par inverse : lim
x−→+∞
1
x−2 =0.
Donc, par somme, lim
x−→+∞f(x) =
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) = +∞et par inverse : lim
x−→+∞
1
x−2 =0.
Donc, par somme, lim
x−→+∞f(x) =1
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) = +∞et par inverse : lim
x−→+∞
1
x−2 =0.
Donc, par somme, lim
x−→+∞f(x) =1
On a alors une asymptote horizontale d’équation
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Exemple de recherche de limites :
On considère la fonctionf définie surR\{2}par f(x) =1+ 1
x−2 Limite en+∞:
x−→+∞lim (x−2) = +∞et par inverse : lim
x−→+∞
1
x−2 =0.
Donc, par somme, lim
x−→+∞f(x) =1
On a alors une asymptote horizontale d’équationy =1.
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1 x−2 =
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) =
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞.
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =0−
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =0−et par inverse : lim
x−→2
x<2
1 x −2 =
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =0−et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x −2 = − ∞.
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =0−et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x −2 = − ∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f(x) =
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =0−et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x −2 = − ∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f(x) = − ∞.
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =0−et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x −2 = − ∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f(x) = − ∞.
On a alors une asymptote verticale d’équation
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Limite en 2+et en 2 : lim
x−→2
x>2
(x−2) =0+et par inverse : lim
x−→2
x>2
1
x−2 = +∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x>2
f(x) = +∞. De plus, lim
x−→2
x<2
(x −2) =0−et par inverse : lim
x−→2
x<2
1
x −2 = − ∞.
Donc, par somme, lim
x−→2
x<2
f(x) = − ∞.
On a alors une asymptote verticale d’équationx =2.
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Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples.
x −→u u(x)−→v v(u(x))
x −→v◦u v(u(x))
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Soient deux fonctionsuetv définies sur deux ensembles I etJ tels que l’image de I paru soit contenue dansJ : u(I)⊂J.
La fonction obtenue en appliquant successivementu, puis v, s’appelle la . . . .
Définition
Soient deux fonctionsuetv définies sur deux ensembles I etJ tels que l’image de I paru soit contenue dansJ : u(I)⊂J.
La fonction obtenue en appliquant successivementu, puis v, s’appelle lacomposée deuparv.
Définition
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Soient deux fonctionsuetv définies sur deux ensembles I etJ tels que l’image de I paru soit contenue dansJ : u(I)⊂J.
La fonction obtenue en appliquant successivementu, puis v, s’appelle la composée deuparv.
Définition
Elle est notéev ◦u, ou parfoisv(u).
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Soient deux fonctionsuetv définies sur deux ensembles I etJ tels que l’image de I paru soit contenue dansJ : u(I)⊂J.
La fonction obtenue en appliquant successivementu, puis v, s’appelle la composée deuparv.
Définition
Elle est notéev ◦u, ou parfoisv(u).
Pour tout réelx deI :v◦u(x) =v(u(x))
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a,betc désignent trois réels, ou+∞ou−∞.
Si on a lim
x−→au(x) =bet lim
x−→bv(x) =c alors lim
x−→av◦u(x) =. . . Théorème
a,betc désignent trois réels, ou+∞ou−∞.
Si on a lim
x−→au(x) =bet lim
x−→bv(x) =c alors lim
x−→av◦u(x) =c.
Théorème
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a,betc désignent trois réels, ou+∞ou−∞.
Si on a lim
x−→au(x) =bet lim
x−→bv(x) =c alors lim
x−→av◦u(x) =c.
Théorème
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On peut décomposerf en enchaînement de fonctions :
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On peut décomposerf en enchaînement de fonctions : x −→ −2x+1−→(−2x+1)2
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On peut décomposerf en enchaînement de fonctions : x −→ −2x+1−→(−2x+1)2
On a :
x−→+∞lim (−2x+1) =−∞
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On peut décomposerf en enchaînement de fonctions : x −→ −2x+1−→(−2x+1)2
On a :
x−→+∞lim (−2x+1) =−∞ et lim
X−→−∞
X2= +∞
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On peut décomposerf en enchaînement de fonctions : x −→ −2x+1−→(−2x+1)2
On a :
x−→+∞lim (−2x+1) =−∞ et lim
X−→−∞
X2= +∞
et donc par composition :
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On peut décomposerf en enchaînement de fonctions : x −→ −2x+1−→(−2x+1)2
On a :
x−→+∞lim (−2x+1) =−∞ et lim
X−→−∞
X2= +∞
et donc par composition :
x−→+∞lim f(x) = +∞
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suites.
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suites.
Soient deux fonctionsf etg définies sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ telles que pour tout réel x > a, on ait f(x)≤g(x).
Théorème
suites.
Soient deux fonctionsf etg définies sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ telles que pour tout réel x > a, on ait f(x)≤g(x).
Minoration : si lim
x−→+∞f(x) = +∞, alors lim
x−→+∞g(x) = . . .
Théorème
suites.
Soient deux fonctionsf etg définies sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ telles que pour tout réel x > a, on ait f(x)≤g(x).
Minoration : si lim
x−→+∞f(x) = +∞, alors lim
x−→+∞g(x) = +∞
Théorème
suites.
Soient deux fonctionsf etg définies sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ telles que pour tout réel x > a, on ait f(x)≤g(x).
Minoration : si lim
x−→+∞f(x) = +∞, alors lim
x−→+∞g(x) = +∞
Majoration : si lim
x−→+∞g(x) = −∞, alors
x−→+∞lim f(x) =. . . Théorème
suites.
Soient deux fonctionsf etg définies sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ telles que pour tout réel x > a, on ait f(x)≤g(x).
Minoration : si lim
x−→+∞f(x) = +∞, alors lim
x−→+∞g(x) = +∞
Majoration : si lim
x−→+∞g(x) = −∞, alors
x−→+∞lim f(x) =−∞
Théorème
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suites.
Soient deux fonctionsf etg définies sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ telles que pour tout réel x > a, on ait f(x)≤g(x).
Minoration : si lim
x−→+∞f(x) = +∞, alors lim
x−→+∞g(x) = +∞
Majoration : si lim
x−→+∞g(x) = −∞, alors
x−→+∞lim f(x) =−∞
Théorème
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On considère trois fonctionsf,gethdéfinies sur un inter- valle de la forme]a; +∞[telles que pour tout réelx >a, on aitg(x)≤f(x)≤h(x).
On suppose que lim
x−→+∞g(x) = lim
x−→+∞h(x) =ℓ, oùℓest un nombre réel.
Théorème(Théorème des gendarmes)
On considère trois fonctionsf,gethdéfinies sur un inter- valle de la forme]a; +∞[telles que pour tout réelx >a, on aitg(x)≤f(x)≤h(x).
On suppose que lim
x−→+∞g(x) = lim
x−→+∞h(x) =ℓ, oùℓest un nombre réel.
Alors . . . . Théorème(Théorème des gendarmes)
On considère trois fonctionsf,gethdéfinies sur un inter- valle de la forme]a; +∞[telles que pour tout réelx >a, on aitg(x)≤f(x)≤h(x).
On suppose que lim
x−→+∞g(x) = lim
x−→+∞h(x) =ℓ, oùℓest un nombre réel.
Alorsf admet pour limiteℓen+∞: lim
x−→+∞f(x) =ℓ Théorème(Théorème des gendarmes)
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On considère trois fonctionsf,gethdéfinies sur un inter- valle de la forme]a; +∞[telles que pour tout réelx >a, on aitg(x)≤f(x)≤h(x).
On suppose que lim
x−→+∞g(x) = lim
x−→+∞h(x) =ℓ, oùℓest un nombre réel.
Alorsf admet pour limiteℓen+∞: lim
x−→+∞f(x) =ℓ Théorème(Théorème des gendarmes)
Remarque :on obtient des théorèmes analogues en−∞.
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Soitf(x) = 4sinx
x pourx ∈]0; +∞[.
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Soitf(x) = 4sinx
x pourx ∈]0; +∞[.
On a pour toutx ∈R∗+:−1≤sinx ≤1
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Soitf(x) = 4sinx
x pourx ∈]0; +∞[.
On a pour toutx ∈R∗+:−1≤sinx ≤1 D’ou :−4≤4sinx ≤4
A. OLLIVIER Cours de terminale S Calcul de limites de fonctions
Soitf(x) = 4sinx
x pourx ∈]0; +∞[.
On a pour toutx ∈R∗+:−1≤sinx ≤1 D’ou :−4≤4sinx ≤4
Commex >0, par division, on a : −4
x ≤f(x)≤ 4 x
A. OLLIVIER Cours de terminale S Calcul de limites de fonctions
Soitf(x) = 4sinx
x pourx ∈]0; +∞[.
On a pour toutx ∈R∗+:−1≤sinx ≤1 D’ou :−4≤4sinx ≤4
Commex >0, par division, on a : −4
x ≤f(x)≤ 4 x Or lim
x→+∞
−4
x = lim
x→+∞
−4 x =0,
A. OLLIVIER Cours de terminale S Calcul de limites de fonctions
Soitf(x) = 4sinx
x pourx ∈]0; +∞[.
On a pour toutx ∈R∗+:−1≤sinx ≤1 D’ou :−4≤4sinx ≤4
Commex >0, par division, on a : −4
x ≤f(x)≤ 4 x Or lim
x→+∞
−4
x = lim
x→+∞
−4 x =0,
Donc par le théorème des gendarmes, on a : lim
x→+∞f(x) =0.
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