Cours de terminale S Fonctions trigonométriques
A. OLLIVIER
Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer
2018-2019
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie . . . .
Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- ciel’abscisse deM.
Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie l’abscisse deM. On note :
. . . . Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie l’abscisse deM. On note :
cos :x ∈R7−→cosx Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie l’abscisse deM. On note :
cos :x ∈R7−→cosx
La fonctionsinusest la fonction qui à tout réelx associe . . . .
Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie l’abscisse deM. On note :
cos :x ∈R7−→cosx
La fonctionsinusest la fonction qui à tout réelx associe l’ordonnée deM.
Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie l’abscisse deM. On note :
cos :x ∈R7−→cosx
La fonctionsinusest la fonction qui à tout réelx associe l’ordonnée deM. On note :
. . . . Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie l’abscisse deM. On note :
cos :x ∈R7−→cosx
La fonctionsinusest la fonction qui à tout réelx associe l’ordonnée deM. On note :
sin :x ∈R7−→sinx Définition
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O;I,J), on peut associer à tout réelx un unique pointMsur le cercle trigonométrique. (voir cours de seconde)
La fonctioncosinusest la fonction qui à tout réelx asso- cie l’abscisse deM. On note :
cos :x ∈R7−→cosx
La fonctionsinusest la fonction qui à tout réelx associe l’ordonnée deM. On note :
sin :x ∈R7−→sinx Définition
Les fonctions sinus et cosinus sont . . . .
. . .
Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont continues et déri- vables surR.
Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont continues et déri- vables surR.
Pour tout réelx : (sinx)′ =. . . . Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont continues et déri- vables surR.
Pour tout réelx : (sinx)′ =cosx Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont continues et déri- vables surR.
Pour tout réelx :
(sinx)′ = cosx et (cosx)′ =. . . . Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont continues et déri- vables surR.
Pour tout réelx :
(sinx)′ = cosx et (cosx)′ =−sinx Théorème
Soitaetbdeux réels :
Soitaetbdeux réels :
• la fonctionf définie surRparf(x) = sin(ax +b)est dérivable surRet pour tout réelx :
f′(x) =. . . .
Soitaetbdeux réels :
• la fonctionf définie surRparf(x) = sin(ax +b)est dérivable surRet pour tout réelx :
f′(x) =acos(ax +b)
Soitaetbdeux réels :
• la fonctionf définie surRparf(x) = sin(ax +b)est dérivable surRet pour tout réelx :
f′(x) =acos(ax +b)
• la fonctionf définie surRparf(x) = cos(ax +b)est dérivable surRet pour tout réelx :
f′(x) =. . . .
Soitaetbdeux réels :
• la fonctionf définie surRparf(x) = sin(ax +b)est dérivable surRet pour tout réelx :
f′(x) =acos(ax +b)
• la fonctionf définie surRparf(x) = cos(ax +b)est dérivable surRet pour tout réelx :
f′(x) =−asin(ax +b)
Démonstration
Démonstration
On sait que sif(x) =g(ax+b), alorsf′(x) =. . . .
Démonstration
On sait que sif(x) =g(ax+b), alorsf′(x) =ag′(ax +b)
Démonstration
On sait que sif(x) =g(ax+b), alorsf′(x) =ag′(ax +b) (voir le cours sur les dérivées).
. . . . . . . .
Démonstration
On sait que sif(x) =g(ax+b), alorsf′(x) =ag′(ax +b) (voir le cours sur les dérivées).
Il suffit d’appliquer cette formule en prenant pourgla fonction sinus ou la fonction cosinus.
Périodicité Pour tout réelx :
sin(x +2π) =. . . .
Périodicité Pour tout réelx :
sin(x+2π) =sinx
Périodicité Pour tout réelx :
sin(x+2π) = sinx et cos(x+2π) =. . . .
Périodicité Pour tout réelx :
sin(x +2π) = sinx et cos(x+2π) =cosx
Périodicité Pour tout réelx :
sin(x +2π) = sinx et cos(x+2π) = cosx
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont . . . . . . . .
Périodicité Pour tout réelx :
sin(x +2π) = sinx et cos(x+2π) = cosx
On dit que les fonctions sinus et cosinus sontpériodiquesde période 2π.
il suffit de connaître les valeurs prises par les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle d’amplitude 2πpour déterminer les valeurs de ces fonctions pour tout réelx.
Application
il suffit de connaître les valeurs prises par les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle d’amplitude 2πpour déterminer les valeurs de ces fonctions pour tout réelx.
En particulier, pour le tracé des courbes représentatives, il suffit de tracer les courbes sur l’intervalle[−π;π]par exemple puis de compléter par des translations successives de vecteur 2π~i et−2π~i. (~i étant le vecteur unitaire en abscisse).
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =. . . .
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =−sinx
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =−sinx et cos(−x) =. . . .
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =−sinx et cos(−x) =cosx
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =−sinx et cos(−x) = cosx
On dit que la fonction sinus est . . . .
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =−sinx et cos(−x) = cosx
On dit que la fonction sinus estimpaire
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =−sinx et cos(−x) = cosx
On dit que la fonction sinus estimpaireet que la fonction cosinus est . . . .
Parité
Pour tout réelx :
sin(−x) =−sinx et cos(−x) = cosx
On dit que la fonction sinus estimpaireet que la fonction cosinus estpaire.
Conséquence :dans un repère orthogonal, la courbe
représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Conséquence :dans un repère orthogonal, la courbe
représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Application :pour le tracé des courbes représentatives dans un repère orthogonal, on peut se restreindre à l’intervalle[0;π], puis compléter sur l’intervalle[−π;π]à l’aide des symétries précisées ci-dessus et enfin utiliser les translations.
xlim→0
sinx x =. . . Propriété
xlim→0
sinx x =1 Propriété
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée.
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est le . . . .
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est letaux d’accroissement
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est le taux d’accroissement de la fonction sinus en 0.
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est le taux d’accroissement de la fonction sinus en 0.
Sa limite quandx tend vers 0 est le . . . .
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est le taux d’accroissement de la fonction sinus en 0.
Sa limite quandx tend vers 0 est lenombre dérivé
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est le taux d’accroissement de la fonction sinus en 0.
Sa limite quandx tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 qui est. . . .
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est le taux d’accroissement de la fonction sinus en 0.
Sa limite quandx tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 qui estcos0=1.
Démonstration
La limite du quotient n’est pas immédiate puisqu’on obtient une forme indéterminée. On lève l’indétermination en utilisant la définition du nombre dérivé :
sin(0+x)−sin0
x est le taux d’accroissement de la fonction sinus en 0.
Sa limite quandx tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 qui estcos0=1.
sinx sin(0+x)−sin0
l’étude des variations à l’intervalle[0;π].
Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique.
Fonction cosinus
x 0 π
f′(x) =−sinx f(x) = cosx
Grâce aux propriétés de périodicité et de parité, on peut limiter l’étude des variations à l’intervalle[0;π].
Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique.
Fonction cosinus
x 0 π
f′(x) =−sinx f(x) = cosx
0 − 0
l’étude des variations à l’intervalle[0;π].
Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique.
Fonction cosinus
x 0 π
f′(x) =−sinx f(x) = cosx
0 − 0
1
Grâce aux propriétés de périodicité et de parité, on peut limiter l’étude des variations à l’intervalle[0;π].
Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique.
Fonction cosinus
x 0 π
f′(x) =−sinx f(x) = cosx
0 − 0
1
−1
l’étude des variations à l’intervalle[0;π].
Le signe des fonctions dérivées s’obtient avec le cercle trigonométrique.
Fonction cosinus
x 0 π
f′(x) =−sinx f(x) = cosx
0 − 0
1
−1
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
1 0 −1
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
1 + 0 − −1
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
1 + 0 − −1
0
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
1 + 0 − −1
0
1
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
1 + 0 − −1
0
1
0
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
1 + 0 − −1
0
1
0
Fonction sinus
x 0 π
2 π
f′(x) = cosx f(x) = sinx
1 + 0 − −1
0
1
0
FIGURE–Courbe représentative de la fonction cosinus
FIGURE–Courbe représentative de la fonction cosinus
FIGURE–Courbe représentative de la fonction sinus
FIGURE–Courbe représentative de la fonction sinus
