Cours de terminale S Limites de suites

(1)

Limite fini ou infini d’une suite Opérations sur les limites Enigme

Cours de terminale S Limites de suites

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2019-2020

A. OLLIVIER Cours de terminale S Limites de suites

(2)

Limite finie d’une suite Limite infinie d’une suite Limites des suites usuelles

(3)

La suite (u n ) admet pour limite le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient . . . .

. . . .

Définition

(4)

La suite (u n ) admet pour limite le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de u n à partir d’un certain rang.

Définition

(5)

La suite (u n ) admet pour limite le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de u n à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

. . . . Définition

(6)

La suite (u n ) admet pour limite le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs de u n à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

n lim →∞ u n = ℓ .

Définition

(7)

Interprétation graphique

p u p

ℓ b

a

n u n

(8)

Soit A ∈ ^R . La suite (u n ) admet pour li- mite + ∞ (resp. −∞ ) si tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [ (resp. ] − ∞ ; A[) contient . . . .

Définition

(9)

Soit A ∈ ^R . La suite (u n ) admet pour limite + ∞ (resp.

−∞ ) si tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [ (resp. ] − ∞ ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d’un certain rang.

Définition

(10)

Soit A ∈ ^R . La suite (u n ) admet pour limite + ∞ (resp.

−∞ ) si tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [ (resp. ] − ∞ ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

. . . . Définition

(11)

Soit A ∈ ^R . La suite (u n ) admet pour limite + ∞ (resp.

−∞ ) si tout intervalle de la forme ]A; + ∞ [ (resp. ] − ∞ ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d’un certain rang.

On écrit alors :

n lim →∞ u n = + ∞ (resp. − ∞ ) .

Définition

(12)

Interprétation graphique

p u p

A

n u n

(13)

n →+∞ lim n = . . .

Théorème

(14)

n →+∞ lim n = + ∞

Théorème

(15)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = . . .

Théorème

(16)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞

Théorème

(17)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = . . .

Théorème

(18)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

Théorème

(19)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim

1 n = . . .

Théorème

(20)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim

1 n = 0

Théorème

(21)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = . . .

Théorème

(22)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = 0

Théorème

(23)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = 0 lim

n→+∞

√ 1

n = . . .

Théorème

(24)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = 0 lim

n→+∞

√ 1

n = 0

Théorème

(25)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = 0 lim

n→+∞

√ 1 n = 0 Pour tout entier k ≥ 1 : lim

n →+∞ n ^k = . . .

Théorème

(26)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = 0 lim

n→+∞

√ 1 n = 0 Pour tout entier k ≥ 1 : lim

n →+∞ n ^k = + ∞

Théorème

(27)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = 0 lim

n→+∞

√ 1 n = 0 Pour tout entier k ≥ 1 : lim

n →+∞ n ^k = + ∞ lim

n →+∞

1 n ^k = . . . Théorème

(28)

n →+∞ lim n = + ∞ lim

n →+∞ n ² = + ∞ lim

n →+∞

√ n = + ∞

n→+∞ lim 1

n = 0 lim

n→+∞

1 n ² = 0 lim

n→+∞

√ 1 n = 0 Pour tout entier k ≥ 1 : lim

n →+∞ n ^k = + ∞ lim

n →+∞

1 n ^k = 0 Théorème

(29)

Preuve de lim

n→+∞ n ² = + ∞ : . . . .

(30)

Preuve de lim

n →+∞ n ² = + ∞ : soit A un réel quelconque.

(31)

Preuve de lim

n →+∞ n ² = + ∞ : soit A un réel quelconque.

Si A ≤ 0 alors n ² > A pour tout n ≥ 1 ; on choisit donc N = 1.

(32)

Preuve de lim

n →+∞ n ² = + ∞ : soit A un réel quelconque.

Si A ≤ 0 alors n ² > A pour tout n ≥ 1 ; on choisit donc N = 1.

Si A > 0, pour tout entier n > √

A, on a n ² > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + ∞ [. Soit N le plus petit entier tel que N > √

A ; alors ∀ n ≥ N on a n ² > A.

(33)

Preuve de lim

n →+∞ n ² = + ∞ : soit A un réel quelconque.

Si A ≤ 0 alors n ² > A pour tout n ≥ 1 ; on choisit donc N = 1.

Si A > 0, pour tout entier n > √

A, on a n ² > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + ∞ [. Soit N le plus petit entier tel que N > √

A ; alors ∀ n ≥ N on a n ² > A.

Donc lim

n →+∞ n ² = + ∞

(34)

Remarque

Il existe des suites qui n’ont aucune limite (finie ou infinie), par exemple, la suite (u n ) définie pour n ∈ N par u n = ( − 1) ⁿ

n’admet pas de limite car elle prend alternativement les valeurs

(35)

Remarque

Il existe des suites qui n’ont aucune limite (finie ou infinie), par exemple, la suite (u n ) définie pour n ∈ N par u n = ( − 1) ⁿ

n’admet pas de limite car elle prend alternativement les valeurs 1 et − 1

(36)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1 1

^b

u

₀

b

u

₁

b

u

₂

b

u

₃

b

u

₄

b

u

₅

b

u

₆

b

u

₇

b

u

₈

b

u

₉

b

u

₁₀

b b b b b b b

b

u

₀

b

u

₁

b

u

₂

b

u

₃

b

u

₄

b

u

₅

b

u

₆

b

u

₇

b

u

₈

b

u

₉

b

u

₁₀

b b b b b b b

(37)

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple

Formes indéterminées

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

(38)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

(39)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u n + v n

(40)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u n + v n ℓ + ℓ ^′

(41)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u n + v n ℓ + ℓ ^′ + ∞

(42)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u n + v n ℓ + ℓ ^′ + ∞ −∞

(43)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u n + v n ℓ + ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞

(44)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u n + v n ℓ + ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞

(45)

Somme de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ ℓ + ∞ −∞ + ∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

n →+∞ lim u n + v n ℓ + ℓ ^′ + ∞ −∞ + ∞ −∞ F. I.

F. I. = forme indéterminée ; on ne connait pas à priori la réponse.

(46)

Produit de deux suites

n→+∞ lim u n ℓ ℓ 6 = 0 0

ou ±∞

(47)

Produit de deux suites

n→+∞ lim u n ℓ ℓ 6 = 0 0

ou ±∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ ±∞ ±∞

(48)

Produit de deux suites

n→+∞ lim u n ℓ ℓ 6 = 0 0

ou ±∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ ±∞ ±∞

n →+∞ lim u n × v n

(49)

Produit de deux suites

n→+∞ lim u n ℓ ℓ 6 = 0 0

ou ±∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ ±∞ ±∞

n →+∞ lim u n × v n ℓ × ℓ ^′

(50)

Produit de deux suites

n→+∞ lim u n ℓ ℓ 6 = 0 0

ou ±∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ ±∞ ±∞

n →+∞ lim u n × v n ℓ × ℓ ^′ ±∞ avec R. S.

(51)

Produit de deux suites

n→+∞ lim u n ℓ ℓ 6 = 0 0

ou ±∞

n →+∞ lim v n ℓ ^′ ±∞ ±∞

n →+∞ lim u n × v n ℓ × ℓ ^′ ±∞ avec R. S. F. I.

R. S. = règle des signes.

(52)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

(53)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

(54)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

n→+∞ lim u n

v n

(55)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

n→+∞ lim u n

v n

ℓ ℓ ^′

(56)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

n→+∞ lim u n

v n

ℓ

ℓ ^′ 0

(57)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

n→+∞ lim u n

v n

ℓ

ℓ ^′ 0 F. I.

(58)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

n→+∞ lim u n

v n

ℓ

ℓ ^′ 0 F. I. ±∞ (R. S.)

(59)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

n→+∞ lim u n

v n

ℓ

ℓ ^′ 0 F. I. ±∞ (R. S.) ±∞ (R. S.)

(60)

Quotient de deux suites

n →+∞ lim u n ℓ ℓ 0 ℓ 6 = 0 ±∞ ±∞

n→+∞ lim v n ℓ ^′ 6 = 0 ±∞ 0 0 ℓ ^′ ±∞

n→+∞ lim u n

v n

ℓ

ℓ ^′ 0 F. I. ±∞ (R. S.) ±∞ (R. S.) F. I.

(61)

Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur ^N par : u n = 2 3n + 5

(62)

Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur ^N par : u n = 2 3n + 5

n →+∞ lim 2 = 2

(63)

Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur ^N par : u n = 2 3n + 5

n →+∞ lim 2 = 2 et

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞

(64)

Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur ^N par : u n = 2 3n + 5

n →+∞ lim 2 = 2 et

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞

Donc par quotient :

n →+∞ lim 2

3n + 5 = 0

(65)

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu’ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note . . . .

(66)

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu’ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ∞ − ∞ ", "0 × ∞ ", " 0

0 ", " ∞

∞ "

(67)

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu’ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ∞ − ∞ ", "0 × ∞ ", " 0

0 ", " ∞

∞ " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

(68)

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu’ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ∞ − ∞ ", "0 × ∞ ", " 0

0 ", " ∞

∞ " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l’écriture de la suite.

(69)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

(70)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

n→+∞ lim 3n ² = + ∞

(71)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

n→+∞ lim 3n ² = + ∞ et lim

n→+∞ ( − n − 5) = −∞ ,

(72)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

n→+∞ lim 3n ² = + ∞ et lim

n→+∞ ( − n − 5) = −∞ ,

On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞ − ∞ ").

(73)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

n→+∞ lim 3n ² = + ∞ et lim

n→+∞ ( − n − 5) = −∞ ,

On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞ − ∞ ").

Changement d’écriture : u n = n ² (3 − 1 n − 5

n ² )

(74)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

n→+∞ lim 3n ² = + ∞ et lim

n→+∞ ( − n − 5) = −∞ ,

On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞ − ∞ ").

Changement d’écriture : u n = n ² (3 − 1 n − 5

n ² )

n →+∞ lim n ² = + ∞

(75)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

n→+∞ lim 3n ² = + ∞ et lim

n→+∞ ( − n − 5) = −∞ ,

On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞ − ∞ ").

Changement d’écriture : u n = n ² (3 − 1 n − 5

n ² )

n →+∞ lim n ² = + ∞ et lim

n →+∞ (3 − 1 n − 5

n ² ) = 3

(76)

Exemple 1 : u n = 3n ² − n − 5

n→+∞ lim 3n ² = + ∞ et lim

n→+∞ ( − n − 5) = −∞ ,

On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞ − ∞ ").

Changement d’écriture : u n = n ² (3 − 1 n − 5

n ² )

n →+∞ lim n ² = + ∞ et lim

n →+∞ (3 − 1 n − 5

n ² ) = 3 Donc par produit lim

n →+∞ u n = + ∞

(77)

Exemple 2 : u n = 3n + 5

− 2n + 7

(78)

Exemple 2 : u n = 3n + 5

− 2n + 7

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞

(79)

Exemple 2 : u n = 3n + 5

− 2n + 7

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞ et lim

n→+∞ ( − 2n + 7) = −∞ ,

(80)

Exemple 2 : u n = 3n + 5

− 2n + 7

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞ et lim

n→+∞ ( − 2n + 7) = −∞ , On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞

∞ ").

(81)

Exemple 2 : u n = 3n + 5

− 2n + 7

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞ et lim

n→+∞ ( − 2n + 7) = −∞ , On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞

∞ ").

Changement d’écriture : u n = n(3 + ⁵ _n )

n( − 2 + ⁷ _n ) = 3 + ⁵ _n

− 2 + ⁷ _n , (n 6 = 0)

(82)

Exemple 2 : u n = 3n + 5

− 2n + 7

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞ et lim

n→+∞ ( − 2n + 7) = −∞ , On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞

∞ ").

Changement d’écriture : u n = n(3 + ⁵ _n )

n( − 2 + ⁷ _n ) = 3 + ⁵ _n

− 2 + ⁷ _n , (n 6 = 0)

n→+∞ lim (3 + 5 n ) = 3

(83)

Exemple 2 : u n = 3n + 5

− 2n + 7

n→+∞ lim (3n + 5) = + ∞ et lim

n→+∞ ( − 2n + 7) = −∞ , On est donc en présence d’une forme indéterminée (" ∞

∞ ").

Changement d’écriture : u n = n(3 + ⁵ _n )

n( − 2 + ⁷ _n ) = 3 + ⁵ _n

− 2 + ⁷ _n , (n 6 = 0)

n→+∞ lim (3 + 5

n ) = 3 et lim

n→+∞ ( − 2 + 7

n ) = − 2

(84)

Cours de terminale S Limites de suites