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Chapitre 1 : Limites de suites 1 Limite finie ou infinie d’une suite 1.1 Limite finie d’une suite

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Academic year: 2022

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Chapitre 1 : Limites de suites 1 Limite finie ou infinie d’une suite

1.1 Limite finie d’une suite

La suite(un)admet pour limite le réelℓsi tout intervalle ouvert contenantℓcontient . . . .. . . . . . . .

On écrit alors :

. . . . Définition

Interprétation graphique :

1.2 Limite infinie d’une suite

Soit A ∈ R. La suite (un) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si tout intervalle de la forme ]A; +∞[(resp.

]− ∞;A[) contient . . . .. . . .

On écrit alors :

. . . . Définition

Interprétation graphique :

(2)

1.3 Limites des suites usuelles

n→+∞lim

n=. . . lim

n→+∞

n2 =. . . lim

n→+∞

√n=. . .

n→+∞lim 1

n=. . . lim

n→+∞

1

n2=. . . lim

n→+∞

√1n=. . .

Pour tout entierk≥1: lim

n→+∞

nk=. . . lim

n→+∞

1 nk=. . . Théorème

Preuve de lim

n→+∞

n2= +∞:

Remarque

Il existe des suites qui n’ont aucune limite (finie ou infinie), par exemple, la suite(un)définie pourn∈Nparun = (−1)n n’admet pas de limite car elle prend alternativement les valeurs . . . et . . . .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1 1 b

u0

bu1

bu2

bu3

bu4

bu5

bu6

bu7

bu8

bu9

bu10

bL

bM

bN

bO

bP

b

Q

bR

bu0

bu1

bu2

bu3

bu4

bu5

bu6

bu7

bu8

bu9

bu10

bL

bM

bN

bO

bP

b

Q

bR

2 Opérations sur les limites

2.1 Somme de deux suites Somme de deux suites

limn→+∞un ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞

limn→+∞vn +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

limn→+∞un+vn

2.2 Produit de deux suites

limn→+∞un ℓ ℓ6= 0 0

ou±∞

limn→+∞vn ±∞ ±∞

limn→+∞un×vn

(3)

2.3 Quotient de deux suites

limn→+∞un ℓ ℓ 0 ℓ6= 0 ±∞ ±∞

limn→+∞vn 6= 0 ±∞ 0 0 ℓ ±∞

limn→+∞un

vn

2.4 Exemple

Etudier la limite de la suite(un)définie surNpar :un= 2 3n+ 5

2.5 Formes indéterminées

Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu’ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .

mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l’écriture de la suite.

Exemple 1 :un= 3n2−n−5

Exemple 2 :un= 3n+ 5

−2n+ 7

Exemple 3 :un=n−√n

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