DEVOIR A LA MAISON N°14. TS2.
Pour le mercredi 16 mars 2016.
Sujet 1. Pour préparer le bac.
I. ( )un est la suite définie sur par u0 17
4 et, pour tout n de , un 1 5un 4 un 1
1. Montrer par récurrence que, pour tout n de , un 2 (penser à calculer up 1 2).
2. Calculer un 1 un et montrer que la suite ( )un est décroissante.
3. En déduire que la suite converge vers un réel L.
4. On admet que L est solution de l équation 5L 4
L 1 L. Déterminer la limite de la suite ( )un .
II.
Partie A
Soit u la fonction définie sur ]0 [ par u(x) ln(x) x 3.
1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 [.
2. Démontrer que l’équation u(x) 0 admet une unique solution dans ]0 [et que est compris entre 2 et 3.
3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.
Partie B
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 [ par f(x)
1 1
x [ln(x) 2] 2.
On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (C ) la courbe de la fonction ln.
1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.
2. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 [, f (x) u(x)
x² où u est la fonction définie dans la partie A.
3. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 [, f(x) ln(x) 2 ln(x)
x .
4. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 [.
5. Déterminer les positions relatives des courbes (C ) et (C ).
Pour le mercredi 16 mars 2016.
Sujet 2. Pour aller vers le supérieur.
Dans tout le sujet, n et k sont des entiers naturels.
On note
k 0 n
uk la somme u0 u1 … un et
k 0 n
uk le produit u0 u1 … un.
On pensera à utiliser si nécessaire la somme des termes d une suite arithmétique ou géométrique. On donne
k 0 n
k² n(n 1)(2n 1)
6 .
1. Exprimer en fonction de n: S
k 0
n
3k 2 et S
k 1
n
(k² 2k 1) . 2. Montrer que 1
k(k 1) 1 k
1
k 1 puis exprimer en fonction de n la somme
k 1 n
1 k² k
3. On pose Hn
k 1 n
1
k . Vérifier que, pour n 5,
k 1 n 1
Hk nHn n.
4. On appelle factorielle de n le nombre n!
k 1 n
k. a. Calculer 4!
b. Montrer que k k! (k 1)! k!
c. En déduire une expression simple de
k 1 n
k k!
5. Exprimer simplement P
k 3
n
k 5
k 4 et Q
k 0 n
42k.
6. Pour tout réel x différent de 1, on pose f(x)
k 0 n
xk. Montrer que pour tout réel x différent de 1,
k 1 n
kxk nxn 2 (n 1)xn 1 x
(x 1)² . Aide : on peut dériver f.
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°14. TS2 Sujet 1. Pour préparer le bac.
I. ( )un Erreur ! Signet non défini. est la suite définie sur par u0 17
4 et, pour tout n de , un 1 5un 4
un 1
1. Initialisation : pour n 0 : u0 4,25 2 donc la propriété est vraie pour n 0.
Hérédité : soit p un entier naturel tel que up 2. Montrons que up 1 2.
up 1 2 (5up 4) (up 1) 2
5up 4 2up 2 up 1
3up 6 up 1 up 2 donc 3up 6
Ainsi, up 1 2 0, c'est-à-dire up 1 2.
Conclusion : pour tout n de , un 2.
2. Soit n un entier naturel. un 1 un
5un 4
un 1 un 5un 4 un² un
un 1
(un² 4un 4)
un 1 (un 2)2
un 1
(un 2)2 0 et un 2 donc un 1 0. Ainsi, un 1 un 0.
La suite ( )un est donc décroissante.
Remarque : on peut aussi déterminer le signe de un² 4un 4 en calculant le discriminant.
3. La suite ( )un est décroissante et minorée par 2 donc elle converge vers un réel L.
4. 5L 4
L 1 L 5L 4 L(L 1) et L≠ 1 L² 4L 4 0 et L≠ 1 (L 2 )² 0 et L≠ 1 L 2 et L≠ 1 La limite de la suite ( )un est 2.
II.
Partie A
Soit u la fonction définie sur ]0 [ par u(x) ln(x) x 3.
1. u est dérivable sur ]0 [. u (x) 1
x 1>0 si x 0. La fonction u est donc strictement croissante sur l’intervalle ]0 [.
2. lim
x 0
ln(x) donc lim
x 0
u(x) . lim
x
ln(x) lim
x
x donc lim
x
u(x) .
La fonction u est continue et strictement croissante sur ]0 [ avec lim
x 0
u(x) et lim
x
u(x) . 0 ] [ donc l équation u(x) 0 admet une unique solution dans ]0 [.
u(2) 0,3 0 et u(3) 1,1 0 donc est compris entre 2 et 3.
3. u(x) 0 pour 0 x et u(x) 0 pour x . Partie B
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 [ par f(x)
1 1
x [ln(x) 2] 2.
On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (C) la courbe de la
1. lim
x 0
1 x et lim
x 0
ln(x) 2 donc lim
x 0
f(x) 2. f est dérivable sur ]0 [.
f (x) 1
x²(ln(x) 2)
1 1
x 1
x ln(x) 2 x²
x 1 x²
ln(x) x 3 x²
u(x) x² 3. f(x) ln(x)
1 1
x (ln(x) 2) 2 ln(x) (x 1)(ln(x) 2) 2x xln(x) x
xln(x) ln(x) 2x 2 2x xln(x) x
2 ln(x) x 4. f (x) u(x)
x² est du signe de u(x).
D’après la partie A, on peut construire le tableau de variations : x 0 +
u(x) +
f(x) + + f( )
La limite en ne pose pas de difficulté particulière.
5. C est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (C ) la courbe de la fonction ln.
D’après la question 3, f(x) ln(x) 2 ln(x)
x du si gne de 2 ln(x) car x 0.
2 ln(x) 0 ln(x) 2 x e2 On peut construire le tableau suivant :
x 0 e2 + f(x) ln(x)
positi on (C) au dessus de (C ) (C) en dessous de (C )
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°14. TS2 Sujet 2. Pour aller vers le supérieur.
1. S 2 5 8 … 3n 2
Soit ( )un la suite arithmétique de 1er terme u0 2 et de raison 3.
Alors S u0 u1 … un (n 1) 2 3n 2 2
(n 1)(3n 4) 2
S
k 1 n
(k 1)² 2² 3² …. (n 1)²
k 0 n 1
k² 1
(n 1)(n 1 1)(2(n 1) 1)
6 1 (n 1)(n 2)(2n 3)
6 1
2. 1 k
1 k 1
k 1 k k(k 1)
1 k² k .
k 1 n
1
k² k
k 1 n
1 k
1 k 1
1 1
1 2
1 2
1 3
1 3
1
4 … 1
n 1
n 1 1 1
n 1 3. Pour n 5 : 5H5 5 5
1 1
2 1 3
1 4
1
5 5 77 12 et
k 1 4
Hk 1 1 1
2 1 1
2 1
3 1 1
2 1 3
1 4 77
12 donc pour n 5, on a bien
k 1 n 1
Hk nHn n.
4. On appelle factorielle de n le nombre n! prod(k 1 n k).
a. 4! 4 3 2 1 12
b. (k 1)! 1 2 … k (k 1) k (k 1) donc (k 1)! k! (k 1) k! k! k!(k 1 1)k k! c.
k 1 n
k k!
k 1 n
(k 1)! k! 2! 1! 3! 2! 4! 3! … (n 1)! n! (n 1)! 1! (n 1)! 1
5. P
k 3
n
k 5 k 4
8 7
9 8
10
9 … n 5
n 4
n 5 7
Q
k 0 n
42k 420 421 422 … 42n 41 2 2² … 2n 4
1 2n 1
1 2 42n 1 1 6. Pour tout x de \{1}, f(x) 1 x x² … xn 1 xn 1
1 x
xn 1 1 x 1 f est dérivable sur \{1}
En utilisant la première expression de f(x) : f (x) 1 2x 3x² … nxn 1
k 1
n
kxk 1 D autre part, avec la 2ème expression : f (x) (n 1)xn(x 1) (xn 1 1)
(x 1)2
nxn 1 (n 1)xn 1 (x 1)² On a donc
k 1 n
kxk 1 nxn 1 (n 1)xn 1
(x 1)² et, en multipliant par x :
k 1 n
kxk nxn 2 (n 1)xn 1 x (x 1)²