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Déterminer la limite de la suite ( )un

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°14. TS2.

Pour le mercredi 16 mars 2016.

Sujet 1. Pour préparer le bac.

I. ( )un est la suite définie sur par u0 17

4 et, pour tout n de , un 1 5un 4 un 1

1. Montrer par récurrence que, pour tout n de , un 2 (penser à calculer up 1 2).

2. Calculer un 1 un et montrer que la suite ( )un est décroissante.

3. En déduire que la suite converge vers un réel L.

4. On admet que L est solution de l équation 5L 4

L 1 L. Déterminer la limite de la suite ( )un .

II.

Partie A

Soit u la fonction définie sur ]0 [ par u(x) ln(x) x 3.

1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur l’intervalle ]0 [.

2. Démontrer que l’équation u(x) 0 admet une unique solution dans ]0 [et que est compris entre 2 et 3.

3. En déduire le signe de u(x) en fonction de x.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 [ par f(x)

1 1

x [ln(x) 2] 2.

On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (C ) la courbe de la fonction ln.

1. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

2. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 [, f (x) u(x)

x² où u est la fonction définie dans la partie A.

3. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle ]0 [, f(x) ln(x) 2 ln(x)

x .

4. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 [.

5. Déterminer les positions relatives des courbes (C ) et (C ).

(2)

Pour le mercredi 16 mars 2016.

Sujet 2. Pour aller vers le supérieur.

Dans tout le sujet, n et k sont des entiers naturels.

On note

k 0 n

uk la somme u0 u1 un et

k 0 n

uk le produit u0 u1 un.

On pensera à utiliser si nécessaire la somme des termes d une suite arithmétique ou géométrique. On donne

k 0 n

k² n(n 1)(2n 1)

6 .

1. Exprimer en fonction de n: S

k 0

n

3k 2 et S

k 1

n

(k² 2k 1) . 2. Montrer que 1

k(k 1) 1 k

1

k 1 puis exprimer en fonction de n la somme

k 1 n

1 k

3. On pose Hn

k 1 n

1

k . Vérifier que, pour n 5,

k 1 n 1

Hk nHn n.

4. On appelle factorielle de n le nombre n!

k 1 n

k. a. Calculer 4!

b. Montrer que k k! (k 1)! k!

c. En déduire une expression simple de

k 1 n

k k!

5. Exprimer simplement P

k 3

n

k 5

k 4 et Q

k 0 n

42k.

6. Pour tout réel x différent de 1, on pose f(x)

k 0 n

xk. Montrer que pour tout réel x différent de 1,

k 1 n

kxk nxn 2 (n 1)xn 1 x

(x 1)² . Aide : on peut dériver f.

(3)

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°14. TS2 Sujet 1. Pour préparer le bac.

I. ( )un Erreur ! Signet non défini. est la suite définie sur par u0 17

4 et, pour tout n de , un 1 5un 4

un 1

1. Initialisation : pour n 0 : u0 4,25 2 donc la propriété est vraie pour n 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que up 2. Montrons que up 1 2.

up 1 2 (5up 4) (up 1) 2

5up 4 2up 2 up 1

3up 6 up 1 up 2 donc 3up 6

Ainsi, up 1 2 0, c'est-à-dire up 1 2.

Conclusion : pour tout n de , un 2.

2. Soit n un entier naturel. un 1 un

5un 4

un 1 un 5un 4 un² un

un 1

(un² 4un 4)

un 1 (un 2)2

un 1

(un 2)2 0 et un 2 donc un 1 0. Ainsi, un 1 un 0.

La suite ( )un est donc décroissante.

Remarque : on peut aussi déterminer le signe de un² 4un 4 en calculant le discriminant.

3. La suite ( )un est décroissante et minorée par 2 donc elle converge vers un réel L.

4. 5L 4

L 1 L  5L 4 L(L 1) et L≠ 1  L² 4L 4 0 et L≠ 1  (L 2 )² 0 et L≠ 1  L 2 et L≠ 1 La limite de la suite ( )un est 2.

II.

Partie A

Soit u la fonction définie sur ]0 [ par u(x) ln(x) x 3.

1. u est dérivable sur ]0 [. u (x) 1

x 1>0 si x 0. La fonction u est donc strictement croissante sur l’intervalle ]0 [.

2. lim

x 0

ln(x) donc lim

x 0

u(x) . lim

x

ln(x) lim

x

x donc lim

x

u(x) .

La fonction u est continue et strictement croissante sur ]0 [ avec lim

x 0

u(x) et lim

x

u(x) . 0 ] [ donc l équation u(x) 0 admet une unique solution dans ]0 [.

u(2) 0,3 0 et u(3) 1,1 0 donc est compris entre 2 et 3.

3. u(x) 0 pour 0 x et u(x) 0 pour x . Partie B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 [ par f(x)

1 1

x [ln(x) 2] 2.

On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (C) la courbe de la

(4)

1. lim

x 0

1 x et lim

x 0

ln(x) 2 donc lim

x 0

f(x) 2. f est dérivable sur ]0 [.

f (x) 1

x²(ln(x) 2)

1 1

x 1

x ln(x) 2

x 1 x²

ln(x) x 3

u(x) 3. f(x) ln(x)

1 1

x (ln(x) 2) 2 ln(x) (x 1)(ln(x) 2) 2x xln(x) x

xln(x) ln(x) 2x 2 2x xln(x) x

2 ln(x) x 4. f (x) u(x)

est du signe de u(x).

D’après la partie A, on peut construire le tableau de variations : x 0 +

u(x) +

f(x) + + f( )

La limite en ne pose pas de difficulté particulière.

5. C est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (C ) la courbe de la fonction ln.

D’après la question 3, f(x) ln(x) 2 ln(x)

x du si gne de 2 ln(x) car x 0.

2 ln(x) 0  ln(x) 2  x e2 On peut construire le tableau suivant :

x 0 e2 + f(x) ln(x)

positi on (C) au dessus de (C ) (C) en dessous de (C )

(5)

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°14. TS2 Sujet 2. Pour aller vers le supérieur.

1. S 2 5 8 … 3n 2

Soit ( )un la suite arithmétique de 1er terme u0 2 et de raison 3.

Alors S u0 u1 un (n 1) 2 3n 2 2

(n 1)(3n 4) 2

S

k 1 n

(k 1)² 2² 3² …. (n 1)²

k 0 n 1

k² 1

(n 1)(n 1 1)(2(n 1) 1)

6 1 (n 1)(n 2)(2n 3)

6 1

2. 1 k

1 k 1

k 1 k k(k 1)

1 k .

k 1 n

1

k

k 1 n

1 k

1 k 1

1 1

1 2

1 2

1 3

1 3

1

4 1

n 1

n 1 1 1

n 1 3. Pour n 5 : 5H5 5 5

1 1

2 1 3

1 4

1

5 5 77 12 et

k 1 4

Hk 1 1 1

2 1 1

2 1

3 1 1

2 1 3

1 4 77

12 donc pour n 5, on a bien

k 1 n 1

Hk nHn n.

4. On appelle factorielle de n le nombre n! prod(k 1 n k).

a. 4! 4 3 2 1 12

b. (k 1)! 1 2 … k (k 1) k (k 1) donc (k 1)! k! (k 1) k! k! k!(k 1 1)k k! c.

k 1 n

k k!

k 1 n

(k 1)! k! 2! 1! 3! 2! 4! 3! … (n 1)! n! (n 1)! 1! (n 1)! 1

5. P

k 3

n

k 5 k 4

8 7

9 8

10

9 n 5

n 4

n 5 7

Q

k 0 n

42k 420 421 422 … 42n 41 2 … 2n 4

1 2n 1

1 2 42n 1 1 6. Pour tout x de \{1}, f(x) 1 x x² … xn 1 xn 1

1 x

xn 1 1 x 1 f est dérivable sur \{1}

En utilisant la première expression de f(x) : f (x) 1 2x 3x² … nxn 1

k 1

n

kxk 1 D autre part, avec la 2ème expression : f (x) (n 1)xn(x 1) (xn 1 1)

(x 1)2

nxn 1 (n 1)xn 1 (x 1)² On a donc

k 1 n

kxk 1 nxn 1 (n 1)xn 1

(x 1)² et, en multipliant par x :

k 1 n

kxk nxn 2 (n 1)xn 1 x (x 1)²

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