3. Limite d’une suite géométrique

Terminale S Suites 2

Thème 7 – Limites de suites

1. Définitions

Définition 1 : Suite convergente

On dit queu_ntend vers une limite réelleℓquandn tend vers+∞quand tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang. On note alors

n→lim+∞u_n=ℓ.

Autrement dit, un nombreǫpositif (très petit) étant donné, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l’intervalle ]ℓ−ǫ;ℓ+ǫ[.

Exercice résolu 1 :

Soit u la suite définie pour tout entier naturel n par u_n= ¹_n. Montrer que lim

n→+∞u_n= 0.

Solution : Tout intervalle ouvert contenant zéro contient un intervalle de la forme ]0; +ǫ[ (où ǫ est un réel positif).

• Puisque n est positif, alors u_n = 1

n est positif et donc u_n>0.

• Puisque l’équation 1

N < ǫ équivaut à N > 1

ǫ, cela signifie que pour entier naturel n supérieur à 1

ǫ, on au_n< ǫ.

Ainsi, pour entier supérieur à 1

ǫ, on a u_n dans l’intervalle ouvert ]0; +ǫ[ ; ce qui signifie que lim

n→+∞u_n= 0.

1 2

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

Théorème 1 (admis) :

Une limite, si elle existe est unique.

Théorème 2 : Suite croissante convergente

Si une suite u est croissante et admet pour limite un réel ℓ, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à ℓ.

Démonstration : Presque ROC Idée de la démonstration :

b

ℓ

b

up

b

ℓ+ǫ Si la limite estℓ, à par- tir d’un certain rang, tous lesunsont là.

Puisque la suite est croissante, à partir du rangp, tous lesunsont là.

On raisonne par l’absurde. On considére une suite croissante u admettant une limite réelle ℓet on suppose qu’il existe un rangp tel queu_p > ℓ.

On considère ǫ= ^up₂^−l (moitié de la longeur du segment [ℓ;u_p]). On a doncl < l+ǫ < u_p.

• D’une part, puisqueℓest la limite de la suite u, alors, à partir d’un certain rang, toutes les valeurs de u_n sont dans l’intervalle ouvert ]ℓ−ǫ;ℓ+ǫ[. Donc, à partir d’un certain rang, un< ℓ+ǫ.

• D’autre part, puisque la suite est croissante, pour tout n supérieur ou égal à p, on a u_n>u_p > ℓ+ǫ

On aboutit à une contradiction donc tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à ℓ.

Définition 2 : Suite tendant vers l’infini

On dit que u_n tend vers +∞ quand n tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A,+∞[ contient toutes les valeursu_n à partir d’un certain rang. On note alors

n→lim+∞u_n= +∞.

La définition est analogue pour une suite qui tend vers −∞ quand n tend vers +∞.

Autrement dit, à partir d’un certain rang, on a un> A pour tout n.

Exercice résolu 2 :

Soit v est la suite définie pour tout entier naturel n par v_n = 2n + 1. Montrer que

n→lim+∞v_n = +∞.

Solution : Soit A un réel. Les inéquations suivantes sont équivalentes : v_n > A

2n+ 1 > A 2n = A−1

n > A−1 2

Ainsi dès que n est supérieur à ^A−₂¹, l’intervalle ]A,+∞[ contient toutes les valeurs v_n ce qui prouve bien que lim

n→+∞v_n= +∞.

2. Calculs de limite

Théorème 3 : Limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites Connaissant lim

n→+∞u_n et lim

n→+∞v_n, on peut déduire dans de nombreux cas, lim

n→+∞u_n+ v_n; lim

n→+∞u_n×v_n, lim

n→+∞

1

u_n ou lim

n→+∞

u_n v_n

n→lim+∞u_n lim

n→+∞v_n lim

n→+∞u_n+v_n

ℓ ℓ^′ ℓ+ℓ^′

ℓ ∞ ∞

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

−∞ +∞ F.I.

n→lim+∞u_n lim

n→+∞v_n lim

n→+∞u_n×v_n

ℓ ℓ^′ ℓ×ℓ^′

ℓ6= 0 ∞ ∞

0 ∞ F.I.

∞ ∞ ∞

n→lim+∞u_n lim

n→+∞

1 u_n ℓ 6= 0 ¹_ℓ

0 ±∞

∞ 0

Remarques :

• Quand les signes ne sont pas précisés pour l’infini, il faut utiliser les règles habi- tuelles du signe d’un produit ou d’un quotient.

• On peut déduire lim

n→+∞

u_n

v_n des deux derniers tableaux.

• Il existe 4 formes indéterminées : “+∞ − ∞”, “∞ ×0”, “^∞_∞” et “⁰₀”. Il n’y a pas de réponse générale. Il faut étudier chaque cas en recourant par exemple à une factorisation forcée par le terme dominant (voir exercices résolus ci-dessous).

Exercice résolu 3 :

Soit u la suite définie pour tout n entier naturel par u_n= 2n²−n+ 7.

Déterminer la limite de la suite u. Solution : Puisque lim

n7→+∞2n² = +∞

n7→lim+∞−n+ 7 =−∞







par addition, FI du type ∞+ (−∞).

Pour lever l’indétermination, on force la factorisation par 2n² (même si ce terme n’est pas un facteur commun) puis on simplifie l’expression.

u_n= 2n²(1− n

2n² + 7

2n²) = 2n²(1− 1 2n + 7

2n²)

L’expression de un est désormais un produit et on étudie la limite de chaque facteur.

n7→lim+∞2n² = +∞

n7→lim+∞(1− 1 2n + 7

2n²) = 1







par multiplication, on a lim

n7→+∞u_n= +∞

Exercice résolu 4 :

Soit u la suite définie pour tout n entier naturel par vn = −5n+ 4 n²+ 3n+ 1. Déterminer la limite de la suite v.

Solution : Puisque lim

n7→+∞−5n+ 4 = −∞et lim

n7→+∞2n² + 3n+ 1 = +∞, on a une forme indéterminée du type ∞

∞.

Pour lever l’indétermination, on force la factorisation par −5n au numérateur et par n² au numérateur puis on simplifie l’expression.

v_n = −5n+ 4

n²+ 3n+ 1 = −5n(1−_5n⁴ )

n²(1 + ³ⁿ_n2 +_n¹₂) = −5(1− _5n⁴ ) n(1 + _n³ +_n¹₂)

On étudie la limite du numérateur et celle du dénominateur pour conclure.

n7→lim+∞−5(1 + 4

5n) = −5

n7→lim+∞n(1 + 3 n + 1

n²) = +∞











par division, on a lim

n7→+∞vn= 0

Théorème 4 : Limite infinie et comparaison Si u et v sont deux suites telles que :

• u_n est inférieur ou égal à v_n à partir d’un certain rang ;

• u_n tend vers +∞ quand n tend vers +∞; alors v_n tend vers +∞ quand n tend vers +∞.

Démonstration :ROCAvec les hypothèses du théorème, considérons un réelA. Par définition, il existe un rang m à partir duquel tous les termes de la suite u appartiennent à l’intervalle [A; +∞[. Notons d’autre part p le rang à partir duquelv_n est supérieur à u_n. Alors, pour tout n supérieur à m et àp, on a à la foisvn >un et un >A, ce qui implique que vn appartient à l’intervalle [A; +∞[. Ainsi, v_n tend vers +∞ quandntend vers +∞.

Théorème 5 : Théorème des gendarmes (admis) Si u, v et w_n sont trois suites telles que :

• u_n6v_n 6w_n pour tout n supérieur à un certain rang ;

• lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞w_n =ℓ.; alors lim

n→+∞v_n=ℓ.

3. Limite d’une suite géométrique

Théorème 6 : Comportement à l’infini de la suite(qⁿ)

Soit q un nombre réel. La suite géométrique (qⁿ), de premier terme1 et de raison q

• a pour limite +∞ si q >1;

• est constante égale à 1 si q = 1;

• a pour limite 0 si q∈]−1; 1[;

• n’a pas de limite, ni réelle ni infinie, si q6−1.

Démonstration : Lemme (Inégalité de Bernouilli) : Pour tout entier naturelnet pour astrictement positif, on a (1 +a)ⁿ>1 +na.

Montrons ce résultat par récurrence.

1. Initialisation : Pour n= 0, la propriété est vraie car (1 +a)⁰= 1 = 1 + 0×a.

2. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie à un rangk. On va utiliser cette hypo- thèse pour prouver que la propriété est vraie au rang k+ 1.

L’hypothèse de récurrence est donc :

(1 +a)^k>1 +ka.

On en déduit alors, puisque 1 +aest strictement positif, (1 +a)^k(1 +a) > (1 +ka)(1 +a)

(1 +a)^k+1 > 1 +a+ka+ka² (1 +a)^k+1 > 1 + (k+ 1)a+ka² et donc, puisqueka² >0,

(1 +a)^k+1 > 1 + (k+ 1)a La propriété est donc vraie au rangk+ 1.

3. Conclusion : La propriété est vraie au rangn= 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n>0.

Prouvons maintenant le théorème.

• ROC Si q > 1 : Il existe un nombre réel strictement positif a tel que q = 1 +a. Les termes de la suite (qⁿ) peuvent alors s’écrire sous la forme (1 +a)ⁿ. Selon l’inégalité de Bernouilli, on aqⁿ = (1 +a)ⁿ >1 +na. Or, puisque aest strictement positif, quand n tend vers +∞, 1 +natend vers +∞. Par théorème de comparaison, on en déduit que qⁿ= (1 +a)ⁿ tend aussi vers +∞.

• Siq= 1 : Le résultat est évident.

• Si q ∈]−1; 1[ : Considérons un intervalle quelconque I contenant 0 et un réel positif quelconque εtel que [−ε;ε]⊂I. L’inéquation |qⁿ|< εest équivalente à

ln(|q|ⁿ) < lnε nln|q| < lnε n > lnε

ln|q|

Ce qui signifie que pour tout nombre réel positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n > N,|qⁿ|< ε. Or l’inéquation |qⁿ|< ε implique que qⁿ appartient à l’intervalle [−ε;ε] et donc à l’intervalle I. Par définition, cela signifie queqⁿ tend vers 0.

• Siq6−1 : la suite alterne entre des nombres positifs et négatifs, dont les valeurs absolues sont de plus en plus grandes. Elle n’a donc pas de limite.

Exemples :

• La suite u définie par u_n = 2ⁿ a pour limite +∞. On peut l’observer sur ces premiers termes : u₀ = 1, u₁ = 2, u₂ = 4, u₃= 8,...

• La suite v définie par v_n = (0,2ⁿ) a pour limite 0. On peut l’observer sur ces premiers termes : v₀ = 1, v₁ = 0,2, v₂ = 0,04,v₃ = 0,008,...

• La suite w définie par w_n = ((−3)ⁿ) n’a pas de limite. On peut l’observer sur ces premiers termes : w₀ = 1, w₁ =−3,w₂ = 9, w₃ =−27,...

Théorème 7 : Limite d’une suite géométrique

• Une suite géométrique de raison comprise dans l’intervalle]−1; 1[a pour limite 0.

• Une suite géométrique de raison supérieure à 1 a pour limite l’infini, positif ou négatif en fonction du signe du premier terme.

• Une suite géométrique de raison inférieure à −1 n’a pas de limite.

2. Calculs de limite

Théorème 3 : Limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites Connaissant lim

n→+∞u_n et lim

n→+∞v_n, on peut déduire dans de nombreux cas, lim

n→+∞u_n+ v_n; lim

n→+∞u_n×v_n, lim

n→+∞

1

u_n ou lim

n→+∞

u_n v_n

n→lim+∞u_n lim

n→+∞v_n lim

n→+∞u_n+v_n

ℓ ℓ^′

ℓ ∞

+∞ +∞

−∞ −∞

−∞ +∞

n→lim+∞u_n lim

n→+∞v_n lim

n→+∞u_n×v_n

ℓ ℓ^′

ℓ6= 0 ∞

0 ∞

∞ ∞

n→lim+∞u_n lim

n→+∞

1 u_n ℓ 6= 0

0

∞

2. Calculs de limite

Théorème 3 : Limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de deux suites Connaissant lim

n→+∞u_n et lim

n→+∞v_n, on peut déduire dans de nombreux cas, lim

n→+∞u_n+ v_n; lim

n→+∞u_n×v_n, lim

n→+∞

1

u_n ou lim

n→+∞

u_n v_n

n→lim+∞u_n lim

n→+∞v_n lim

n→+∞u_n+v_n

ℓ ℓ^′

ℓ ∞

+∞ +∞

−∞ −∞

−∞ +∞

n→lim+∞u_n lim

n→+∞v_n lim

n→+∞u_n×v_n

ℓ ℓ^′

ℓ6= 0 ∞

0 ∞

∞ ∞

n→lim+∞u_n lim

n→+∞

1 u_n ℓ 6= 0

0

∞