Première S2 Exercices sur le chapitre 17 : E3. 2007 2008
E3 Savoir démontrer le sens de variation d'une suite géométrique.
A ) Soit ( un ) une suite géométrique de raison q = - 2 et de premier terme u0 = 3.
Alors le terme général est donné par la formule : un = u0 × qn = 3 × ( - 2 )n. u1 = 3 × ( - 2 ) = -6.
u2 = 3 × 4 = 12.
u3 = 3 × ( - 8 ) = - 24.
La suite ( un ) est alternativement positive puis négative.
Cette suite ( un ) n'est donc pas monotone.
B ) Soit ( un ) une suite géométrique de raison q = 1
2 et de premier terme u0 = 4.
Alors le terme général est donné par la formule : un = u0 × qn = 4 × ( 0,5 )n. Ainsi un+1 − un = 4 × 0,5n+1 − 4 × 0,5n = 4 × 0,5n × ( 0,5 − 1 ) = - 2 × 0,5n. Donc pour tout n ∈ on a un+1 − un < 0 ⇔ un+1 < un.
Donc la suite ( un ) est strictement décroissante.
C ) Soit ( un ) une suite géométrique de raison q = 1
2 et de premier terme u0 = - 3.
Alors le terme général est donné par la formule : un = u0 × qn = -3 × ( 0,5 )n. Ainsi un+1 − un = -3 × 0,5n+1 +3 × 0,5n = -3 × 0,5n × ( 0,5 − 1 ) = 1,5 × 0,5n. Donc pour tout n ∈ on a un+1 − un > 0 ⇔ un+1 > un.
Donc la suite ( un ) est strictement croissante.
D ) Soit ( un ) une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = 5.
Alors le terme général est donné par la formule : un = u0 × qn = 5 × ( 2 )n. Ainsi un+1 − un = 5 × 2n+1 − 5 × 2n = 5 × 2n × ( 2 − 1 ) = 5 × 2n.
Donc pour tout n ∈ on a un+1 − un > 0 ⇔ un+1 > un. Donc la suite ( un ) est strictement croissante.
E ) Soit ( un ) une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme u0 = - 6.
Alors le terme général est donné par la formule : un = u0 × qn = -6 × ( 3 )n. Ainsi un+1 − un = -6 × 3n+1 + 6 × 3n = - 6 × 3n × ( 3 − 1 ) = - 12 × 3n. Donc pour tout n ∈ on a un+1 − un < 0 ⇔ un+1 < un.
Donc la suite ( un ) est strictement décroissante.
Première S2 Exercices sur le chapitre 17 : E3. 2007 2008
Cas général des suites altéernées.
Soit ( un ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Premier cas : q < 0.
Alors si u0 < 0 alors u1 = u0 × q est un nombre de signe positif.
Et u2 = u1 × q est un nombre de signe négatif.
Donc la suite ( un ) est alternativement positive puis négative.
Donc la suite ( un ) n'est pas une suite monotone.
Et de la même manière si u0 > 0 alors u1 = u0 × q est un nombre de signe négatif.
Et u2 = u1 × q est un nombre de signe positif.
Donc la suite ( un ) est alternativement positive puis négative.
Donc la suite ( un ) n'est pas une suite monotone.
